Teorema di Pitagora – Esercizi sul triangolo isoscele

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In un triangolo isoscele il lato obliquo misura 65 cm e la base 120 cm. Calcolarne il perimetro e l’area.
DATI:
AC=BC=65 cm
AB=120 cm
QUESITI:
$2p=2\cdot AC+AB=?$
$A=\frac{AB\cdot CH}{2}=?$

Applichiamo il Teorema di Pitagora al triangolo rettangolo AHC $(A\widehat{H}C=90^\circ)$
$AC^2=AH^2+CH^2$ da cui ricaviamo CH
$CH=\sqrt{AC^2-AH^2}$
$CH=\sqrt{65^2-60^2}$
$CH=\sqrt{4225-3600}$
$CH=\sqrt{625}=25 cm$
$2p=2\cdot AC+AB=2\cdot 65+120=250 cm$

$A=\frac{AB\cdot CH}{2}$

$A=\frac{120\cdot 25}{2}=1500 cm^2$

Nota importante: alcuni insegnanti ci tengono particolarmente a che la figura da riportare a corredo dell’esercizio sia disegnata in scala. Nel nostro caso notiamo che la base e l’altezza del triangolo isoscele hanno un rapporto pari a 120 : 25 ora dividendo entrambi i numeri per 10 otteniamo un rapporto pari a 12 : 2,5, pertanto sul nostro quaderno a quadretti potremmo disegnare il triangolo isoscele la base di 12 quadratini e l’altezza di 2,5 quadratini (come in figura). In questo modo abbiamo rispettato la scala del disegno ed il nostro insegnante sarà contento.
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L’altezza relativa alla base di un triangolo isoscele misura 24 cm. Il triangoloha un’area di 432 cm^2. Calcola il perimetro del triangolo e l’altezza relativa a un lato obliquo.
DATI:
CH=24 cm
A=432 cm²
QUESITI:
2p=?
AK=?

Consideriamo il triangolo isoscele ABC su base AB e con altezza CH, la formla della sua area è:
$A=\frac{AB\cdot BC}{2}$
con la formula inversa calcoliamo la base AB:
$AB=\frac{2\cdot A}{CH}$
sostituendo avremo:
$AB=\frac{2\cdot 432}{24}$
$AB=\frac{864}{24}=36 cm$

Consideriamo il triangolo rettangolo AHC $(A\widehat{H}C=90^\circ)$ e calcoliamo il cateto AH
AH=AB:2=36:2=18 cm
Ora calcoliamo con Pitagora l’ipotenusa AC (che rappresenta il lato obliquo del triangolo isoscele ABC ed è anche uguale a BC)
$AC^2=AH^2+CH^2$
$AC=\sqrt{AH^2+CH^2}$
$AC=\sqrt{18^2+24^2}$
$AD=\sqrt{324+576}$
$AD=\sqrt{900}=30 cm$

Calcoliamo il perimetro:
2p=AB+2·AC=36+2·30=36+60=96 cm

Scriviamo ora la formula dell’area del triangolo isoscele ABC considerando come base BC:
$A=\frac{BC\cdot AK}{2}$
con la formula inversa calcoliamo l’altezza AK relativa alla base BC:
$AK=\frac{2\cdot A}{BC}$
sostituendo avremo:
$AK=\frac{2\cdot 432}{30}$
$AK=\frac{864}{30}=28,8 cm$

Nota importante: per disegnare la figura nel nostro caso notiamo che la base AB e l’altezza CH del triangolo isoscele hanno un rapporto pari a 36 : 24 ora dividendo entrambi i numeri per 6 otteniamo un rapporto pari a 6 : 4, pertanto sul nostro quaderno a quadretti potremmo disegnare il triangolo isoscele la base di 6 quadratini e l’altezza di 4 quadratini (come in figura). In questo modo abbiamo rispettato la scala del disegno ed il nostro insegnante sarà contento.
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