[Fisica] Un guscio cilindrico, di raggio interno R1=5,8 cm e raggio esterno R2=8,5 cm

Amaldi 2 – Cap.15 – Esercizio n. 92 pag. 193

Un guscio cilindrico, di raggio interno R1=5,8 cm e raggio esterno R2=8,5 cm, ha una densità volumica di carica uniforme ρ=3,9×10^(-6) C/m^3 . Calcola il modulo del campo elettrico nel punto P che dista d=12,7 cm dall’asse del guscio cilindrico.

======= DATI DEL PROBLEMA =======
R1=5,8 cm
R2=8,5 cm
ρ=3,9×10^(-6) C/m^3
d=12,7 cm

——- Costanti fisiche ——-

Costante di Coulomb

$\Large \displaystyle k_0=8,99\cdot 10^9\;\; \frac{N\cdot m^2}{C^2}$

Costante dielettrica nel vuoto

$\Large \displaystyle \epsilon_0=8,854\cdot 10^{-12}\;\; \frac{C^2}{N\cdot m^2}\\ \mbox{essendo} \; \; 1\;\;\frac{C^2}{N\cdot m} = 1\;\; F \\ \epsilon_0=8,854\cdot 10^{-12}\;\; \frac{F}{m}$

Eseguiamo il disegno del nostro guscio cilindrico:

======= SVOLGIMENTO =======

Nella figura sopra riportata è rappresentato il nostro guscio cilindrico formato dai due cilindri concentrici di raggio R1 ed R2.
Il guscio dobbiamo considerarlo come indefinito verso l’alto e verso il basso.
Invece il punto P in cui dobbiamo calcolare il Campo Elettrico dista 12,7 cm dal centro O.
Per il calcolo dobbiamo applicare il teorema di Gauss e cerchiamo di calcolare il flusso attraverso la superficie gaussiana (cilindro di raggio di base d=12,7 cm)
Il flusso attraverso le due basi, per ragioni di simmetria, è nullo; quindi il flusso è solo quello generato attraverso la superficie laterale.

La superficie laterale del cilindro come sappiamo è data dalla formula:

$\Large \displaystyle S_L=2\cdot \pi \cdot r \cdot h$ mentre $\Large \displaystyle \Phi_{(E)} =S_L\cdot E$

Nel nostro caso r=d e h=ΔL che rappresenta l’altezza del nostro “pezzo” di cilindro che stiamo considerando per cui il nostro flusso sarà:

$\Large \displaystyle \Phi_E =2\pi \cdot d \cdot \Delta L\cdot E \qquad \;\;\;\;\;\;(1)$

Adesso occorre calcolare la carica del guscio che divisa poi per $\Large \displaystyle \epsilon_0$ ci darà lo stesso il flusso. Partendo dalla densità volumetrica ρ dataci dal testo del problema e moltiplicandola per il volume del guscio iniziale quello cioè formato dai cilindri di raggio R1 ed R2.
Il volume del guscio è dato dalla differenza tra il volume del cilindro esterno (R2) meno il volume del cilindro interno (R1) per cui avremo:

$\Large \displaystyle V_{GUSCIO}=\pi\cdot R_2^2\cdot \Delta L-\pi\cdot R_1^2\cdot \Delta L=\\ =\pi\cdot \Delta L(R_2^2-R_1^2)$

Moltiplicando il volume del guscio appena trovato per la densità volumetrica di carica ρ otteniamo proprio la carica elettrica:

$\Large \displaystyle q=\pi\cdot \Delta L(R_2^2-R_1^2)\cdot \rho$

Ora dividendo la carica appena trovata per $\Large \displaystyle \epsilon_0$ troviamo il flusso:

$\Large \displaystyle \Phi_E=\frac{q}{\epsilon_0}=\frac{\pi\cdot \Delta L(R_2^2-R_1^2)\cdot \rho}{\epsilon_0} \qquad \;\;\;\;\;\; (2)$

A questo punto dalle formule (1) e (2) essendo uguali i primi membri saranno uguali anche i secondi membri per cui possiamo scrivere:

$\Large \displaystyle 2\pi \cdot d \cdot \Delta L\cdot E=\frac{\pi\cdot \Delta L(R_2^2-R_1^2)\cdot \rho}{\epsilon_0}$

Dividendo ambo i menbri per π•ΔL otteniamo:

$\Large \displaystyle 2\cdot d \cdot E=\frac{(R_2^2-R_1^2)\cdot \rho}{\epsilon_0}$

Ora non ci resta che calcolare la E che sarà:

$\Large \displaystyle E=\frac{\rho\cdot(R_2^2-R_1^2)}{2\cdot d \cdot\epsilon_0}$

Infine, sostituendo i dati numerici in nostro possesso avremo:

$\Large \displaystyle E=\frac{3,9\cdot 10^{-6}\cdot [(8,5\cdot 10^{-2})^2-(5,8\cdot 10^{-2})^2]}{2\cdot 12,7\cdot 10^{-2} \cdot8,85\cdot 10^{-12}}=\\ =6,7\cdot 10^{3}\; \frac{N}{C}$

skuolablog Novembre 18, 2022 esercizi di fisica, Fisica, Il campo elettrico Fisica 2 Comments »

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2 Commentsto [Fisica] Un guscio cilindrico, di raggio interno R1=5,8 cm e raggio esterno R2=8,5 cm

Anonimo ha detto:

24/10/2023 alle 10:10

Ottima esposizione della risoluzione del problema

Rispondi
- skuolablog ha detto:
  
  28/11/2023 alle 09:46
  
  Grazie per aver consultato il nostro sito.
  La redazione di Skuolablog.
  
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