Equazioni differenziali lineari del secondo ordine complete – Esercizio guida pag. 2108 – Matematica.blu 2.0 vol.5

Risolvere la seguente equazione differenziale

Consideriamo per prima cosa l’equazione caratteristica associata all’equazione differenziale omogenea:

Risolviamo tale equazione: Δ = 25 – 24 = 1 > 0

Risolvendo con somma e prodotto avremo che i due numeri che danno come somma s=-(-5)=+5 e prodotto p=+6 sono

Dalla teoria sappiamo che per Δ > 0 la soluzione generale dell’equazione differenziale è:

Pertanto la soluzione generale della sola equazione differenziale omogenea è:

Noi come soluzione particolare cerchiamo una funzione f(x) simile a r(x)=2x+1, cioè un polinomio di primo grado.

Posto f(x)=Ax+B, cerchiamo A e B in modo che f(x) sia soluzione dell’equazione.

Deriviamo f(x)=Ax+B ottenendo f’(x)=A ed f’’(x)=0 per cui sostituendo nell’equazione iniziale avremo:

Per il principio di identità dei polinomi dovremmo avere che il coefficiente della x dovrà essere uguale a 2 mentre il termine noto uguale a 1:

Per cui per cui possiamo scrivere l’integrale generale dell’equazione: