[Algebra] Disequazioni irrazionali fratte con radicale al denominatore

Es.69 pag.70 (3 Matematica.blu 2.0 terza edizione)

$\frac{x^2-4x+4}{x-\sqrt{x^2-1}}>0$

Siamo di fronte a una disequazione irrazionale fratta (irrazionale in quanto la x compare sotto radice e fratta in quanto la x è presente anche al denominatore).

IMPORTANTE: in questo tipo di disequazioni non possiamo semplicemente moltiplicare per il denominatore in modo da “toglierlo”, infatti non conosciamo il suo segno (o meglio, essendoci la x, il segno del denominatore varia) e dunque non sappiamo se stiamo moltiplicando entrambi i lati della disequazione per un numero positivo oppure per un numero negativo e dobbiamo quindi cambiare il verso della disuguaglianza.

Allora cosa si fa??
Quello che si fa per svolgere correttamente una disequazione fratta è studiare separatamente il segno del numeratore e del denominatore riportando in uno schema dei segni come variano al variare della x. A questo punto ricordando semplicemente le regole del segno di un prodotto o una divisione si ottiene il segno della frazione e dunque le soluzioni della disequazione.

Quando ci sono uno o più denominatori dobbiamo prima di tutto imporre delle condizioni di esistenza delle frazioni, ovvero richiedere che il denominatore o i denominatori siano diversi da 0. Alla fine dovremo confrontare la soluzione ottenuta con le condizioni di esistenza.

Per la condizione di esistenza dobbiamo porre il radicando maggiore o uguale a zero:

$x^2-1\geq 0$

L’equazione associata $x^2-1=0$ ammette come soluzioni le radici -1 e +1. Infatti:
$x^2-1=0\;\Rightarrow x^2=1\;\Rightarrow x=\mp \sqrt{1}\Rightarrow x_1=-1;\;\;x_2=1$

La nostra disequazione associata $x^2-1\geq 0$ è quindi soddisfatta per valori esterni all’intervallo delle radici che rappresenta la nostra condizione di esistenza e cioè:
$\mbox{C.E. : }\;\; x\leq -1\; \vee\; x\geq 1$

Adesso non ci resta che esaminare separatamente numeratore e denominatore. Esaminiamo per primo il numeratore e vediamo quando questo risulti >o:

$N(x)>0 \Rightarrow x^2-4x+4>0$

$\Delta=b^2-4ac=16-16=0$

Il delta è uguale a zero quindi abbiamo due soluzioni reali e coincidenti
$x_{1/2}=-\frac{b}{2a}=\frac{4}{2}=2$

La disequazione $x^2-4x+4>0>0$ risulta maggiore di zero per $\forall\; x\;\in \mathbb{R} \setminus \left \{ 2 \right \}$ .

Adesso esaminiamo quando il denominatore risulti >0:
$x-\sqrt{x^2-1}>0$

$\sqrt{x^2-1}<x$

che corrisponde al seguente sistema di disequazioni:
$\begin{cases} x^2-1\geq 0 \\ x\geq 0 \\ x^2-1<x^2 \end{cases}$

$\begin{cases} x^2-1\geq 0 \Leftrightarrow x\leq -1 \vee x\geq 1\\ x\geq 0 \Leftrightarrow x\geq 0 \\ x^2-1<x^2 \Leftrightarrow -1<0 \mbox{ sempre} \end{cases}$

Riportiamo i risultati ottenuti del sistema di equazioni su un grafico ricavando che il denominatore risulta maggiore di zero per x≥1.

A questo punto non ci resta che realizzare il grafico dei segni di numeratore e denominatore per vedere quando la frazione risulti > o.

Quindi il risultato finale della disequazione di partenza è:
$x\geq1\;\vee\;x\neq 2$

skuolablog Novembre 10, 2020 Disequazioni frazionarie, Disequazioni irrazionali Algebra, Matematica No Comments »

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[Algebra] Disequazioni irrazionali fratte con radicale al denominatore

Es.69 pag.70 (3 Matematica.blu 2.0 terza edizione)

Adesso non ci resta che esaminare separatamente numeratore e denominatore. Esaminiamo per primo il numeratore e vediamo quando questo risulti >o:

Adesso esaminiamo quando il denominatore risulti >0:
$x-\sqrt{x^2-1}>0$

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