[Algebra] Disequazioni fratte con modulo al numeratore e al denominatore

Es.50 pag.70 (3 Matematica.blu 2.0 terza edizione)

$\displaystyle \frac{|2x-1|-x+2}{|x-1|-3}\geq 0$

Siamo di fronte a una disequazione fratta (in quanto la x compare anche al denominatore) e che ha un modulo sia al numeratore sia al denominatore.
IMPORTANTE: in questo tipo di disequazioni non possiamo semplicemente moltiplicare per il denominatore in modo da semplificarlo e quindi “toglierlo“, infatti non conosciamo il suo segno (o meglio, essendoci la x, il segno del denominatore varia) e dunque non sappiamo se stiamo moltiplicando entrambi i lati della disequazione per un numero positivo oppure per un numero negativo e dobbiamo quindi cambiare il verso della disuguaglianza.

Allora cosa si fa??
Quello che si fa per svolgere correttamente una disequazione fratta è studiare separatamente il segno del numeratore e del denominatore riportando in uno schema dei segni come variano al variare della x. A questo punto ricordando semplicemente le regole del segno di un prodotto o una divisione si ottiene il segno della frazione e dunque le soluzioni della disequazione.

Quando ci sono uno o più denominatori dobbiamo prima di tutto imporre delle condizioni di esistenza delle frazioni, ovvero richiedere che il denominatore o i denominatori siano ≠ 0. Alla fine dovremo confrontare la soluzione ottenuta con le condizioni di esistenza.

Per la condizione di esistenza della nostra disequazione sarà considerata nello studio del denominatore che imporremo naturalmente SOLO diverso da zero in quanto in una frazione un denominatore uguale a zero non avrebbe significato.

Adesso non ci resta che esaminare separatamente numeratore e denominatore. Esaminiamo per primo il numeratore e vediamo quando questo risulti = o:

$N(x)\geq 0 \Rightarrow |2x-1|-x+2\geq 0$

che corrisponde al seguente sistema di disequazioni:

$\begin{cases} 2x-1\geq 0 \\ 2x-1-x+2 \geq 0 \end{cases}\qquad \qquad \bigcup\qquad \qquad \begin{cases} 2x-1< 0 \\ -2x+1-x+2 \geq 0 \end{cases}$

$\begin{cases} x\geq \frac{1}{2}\\ x\geq -1 \end{cases}\qquad \qquad \bigcup\qquad \qquad\begin{cases} x< \displaystyle \frac{1}{2} \\ x\leq 1 \end{cases}$

Riportando i risultati dei due sistemi su un grafico avremo:

$S_{N1}\;:\;\;x\geq \displaystyle \frac{1}{2}$

$S_{N2}\;:\;\; x< \displaystyle \frac{1}{2}$

Quindi in definitiva costruendo il grafico unione dei due risultati appena ottenuti avremo che il numeratore risulta maggiore di zero per:

$\Large S_N\; :\;\; S_{N1} \cup S_{N2}\Rightarrow\; \forall\; x \in \mathbb{R}$

Adesso esaminiamo quando il denominatore risulti > 0 cioè strettamente positivo in quanto, come già detto in precedenza, in una frazione un denominatore uguale a zero non avrebbe significato.:

$D(x)> 0 \Rightarrow |x-1|-3>0$

che corrisponde al seguente sistema di disequazioni:

$\begin{cases} x-1\geq 0 \\ x-1-3> 0 \end{cases}\qquad \qquad \bigcup\qquad \begin{cases} x-1< 0 \\ -x+1-3> 0 \end{cases}$

$\begin{cases} x\geq 1\\ x> 4 \end{cases}\qquad \qquad \bigcup\qquad \begin{cases} x< 1\\ x< -2 \end{cases}$

Riportando i risultati dei due sistemi su un grafico avremo:

$S_{D1}\;:\;\;x> 4$

$S_{D2}\;:\;\;x< -2$

Quindi in definitiva il denominatore risulta maggiore di zero per:

$\Large S_D\; :\;\; S_{D1}\cup S_{D2}\Rightarrow\; x< -2 \vee x> 4$

A questo punto non ci resta che realizzare il grafico dei segni di numeratore e denominatore per vedere quando la frazione risulti ≥ o.

**Quindi la disequazione di partenza risulta maggiore o uguale a zero per:**

$\LARGE x< -2\;\vee\;x> 4$

skuolablog Novembre 12, 2020 disequazioni con modulo, Disequazioni frazionarie Algebra, Matematica No Comments »

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Es.50 pag.70 (3 Matematica.blu 2.0 terza edizione)

Quando ci sono uno o più denominatori dobbiamo prima di tutto imporre delle condizioni di esistenza delle frazioni, ovvero richiedere che il denominatore o i denominatori siano ≠ 0. Alla fine dovremo confrontare la soluzione ottenuta con le condizioni di esistenza.

Per la condizione di esistenza della nostra disequazione sarà considerata nello studio del denominatore che imporremo naturalmente SOLO diverso da zero in quanto in una frazione un denominatore uguale a zero non avrebbe significato.

Adesso non ci resta che esaminare separatamente numeratore e denominatore. Esaminiamo per primo il numeratore e vediamo quando questo risulti = o:

che corrisponde al seguente sistema di disequazioni:

Riportando i risultati dei due sistemi su un grafico avremo:

Quindi in definitiva costruendo il grafico unione dei due risultati appena ottenuti avremo che il numeratore risulta maggiore di zero per:

Adesso esaminiamo quando il denominatore risulti > 0 cioè strettamente positivo in quanto, come già detto in precedenza, in una frazione un denominatore uguale a zero non avrebbe significato.:

che corrisponde al seguente sistema di disequazioni:

Riportando i risultati dei due sistemi su un grafico avremo:

Quindi in definitiva il denominatore risulta maggiore di zero per:

A questo punto non ci resta che realizzare il grafico dei segni di numeratore e denominatore per vedere quando la frazione risulti ≥ o.

**Quindi la disequazione di partenza risulta maggiore o uguale a zero per:**

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