[Algebra] Disequazioni con due valori assoluti (o moduli)

Es.47 pag.70 (3 Matematica.blu 2.0 terza edizione)

Per prima cosa bisogna studiare i segni degli argomenti dei moduli (o valori assoluti) presenti nella disequazione:

Disegniamo ora la tabella dei segni riportando i risultati su un grafico ottenendo:

Fig.1

Dal grafico dei segni ricaviamo che bisogna impostare tre diversi sistemi, uno per ogni intervallo: x ≤ -3; -3 ≤ x ≤ 1/2 e x ≥ 1/2.
La soluzione della nostra disequazione sarà data dall’unione delle soluzioni dei tre sistemi.
Per ciascun intervallo scriveremo un sistema formato da due disequazioni: la prima sarà l’intervallo in cui stiamo lavorando, la seconda sarà la nuova forma assunta dalle disequazioni di partenza scritta sfruttando la definizione di valore assoluto.
Nel 1° intervallo entrambi i moduli sono < 0 (hanno segno negativo).
Nel 2° intervallo il primo modulo è < 0 (ha segno negativo) mentre il secondo modulo è > 0 (ha segno positivo).
Nel 3° intervallo entrambi i moduli sono > 0 (hanno segno positivo).

a) Consideriamo il primo intervallo: x ≤ -3 in questo intervallo tutti e due i valori assoluti sono negativi pertanto avremo il seguente sistema (1) :

(1)

b) Consideriamo ora il secondo intervallo: -3 ≤ x ≤ 1/2 in questo caso il 1° valore assoluto è negativo mentre il 2° valore assoluto risulta negativo (fare riferimento sempre al primo grafico inserito in questo articolo cioè alla tabella dei segni dei moduli), pertanto avremo il seguente sistema (2):

(2)

c) Consideriamo ora il terzo intervallo: x ≥ 1/2 in questo caso il 1° e il 2° valore assoluto sono entrambi positivi (fare riferimento sempre al primo grafico inserito in questo articolo cioè alla tabella dei segni dei moduli), pertanto avremo il seguente sistema (3):

(3)

Risolviamo il 1° sistema:

(1)

(1)

Mettiamo a sistema i risultati delle due disequazioni del sistema (1):

Fig.2

Dal grafico abbiamo che la soluzione del 1° sistema è data da:

Risolviamo il 2° sistema:

(2)

(2)

Mettiamo a sistema i risultati delle due disequazioni del sistema (2):

Fig.3

Dal grafico abbiamo che la soluzione del 2° sistema è data da:

Risolviamo il 3° sistema:

(3)

Mettiamo a sistema i risultati delle due disequazioni del sistema (3):

Fig.4

Dal grafico abbiamo che la soluzione del 3° sistema è data da:

A questo punto dopo aver risolto i tre sistemi la soluzione della nostra disequazione di partenza è data dall’unione delle soluzioni dei singoli sistemi:

Riportando sullo stesso grafico le soluzioni dei tre sistemi avremo:

Fig.5

che la soluzione della nostra disequazione è data da: