[Algebra] Disequazione irrazionale fratta di primo grado con modulo al numeratore e radice al denominatore
Esercizio n.71 pag. 70
Per prima cosa vediamo la condizione di esistenza: affinché la frazione abbia significato deve essere il denominatore diverso da zero ed essendoci al denominatore una radice quadrata, l’argomento sotto radice dovrà essere strettamente positivo (NON può essere uguale a zero) e cioè:
x + 2 > 0 per x > -2
Consideriamo ora il numeratore della frazione e vediamo quando questo risulta > 0
|x-8|-1 > 0
|x-8| > 1
Quando il modulo è positivo avremo:
Quando il modulo è negativo avremo:
Quindi dobbiamo risolvere il seguente sistema:
Risolvendo avremo:
Grafico 1° sistema
La soluzione del primo sistema è S1 = x > 9
Grafico 2° sistema
La soluzione del secondo sistema è S2 = x < 7
Osservando i due grafici e facendo l’unione delle soluzioni dei due sistemi abbiamo che il numeratore risulta > 0 per:
N(x)>0 per S1 ∪ S2 cioè x < 7 ∨ x > 9
Consideriamo ora il denominatore della frazione e vediamo che questo risulta > 0 quando il radicando è >0
x+2>0
x>-2
Mettiamo ora sullo stesso grafico il numeratore e il denominatore vedendo poi quando N(x)/D(x) risulta positivo ottenendo:
