Trova la retta tangente all’ellisse di equazione x²/8+y²/9=1

Es.154 pag.464

[su_note note_color=”#faff66″ text_color=”#1416bc”]Trova la retta tangente all’ellisse di equazione $\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{9}=1$ nel suo punto del quarto quadrante che ha la stessa ordinata del fuoco.[/su_note]

Ora troviamo l’ordinata del fuoco che è la stessa ordinata del punto e che deve essere negativa perchè il punto si deve trovare nel quarto quadrante: questo significa che l’ascissa è positiva e l’ordinata è negativa.

Fuoco con ordinata negativa:

Ora sostituisco l’ordinata del fuoco appena tovata nell’equazione dell’ellisse per trovare l’ascissa del punto:

$\frac{x^2}{8}+\frac{(-1)^2}{9}=1$

$\frac{x^2}{8}+\frac{1}{9}=1$

$\frac{9x^2+8}{72}=\frac{72}{72}$

$9x^2+8=72\Rightarrow 9x^2=-8+72\Rightarrow 9x^2=64\Rightarrow x^2=\frac{64}{9}$

$x=\pm \sqrt{\frac{64}{9}}\Rightarrow x=\pm \frac{8}{3}$

Dobbiamo prendere l’ascissa positiva perchè il punto si trova nel quarto quadrante, quindi il punto sarà:

$P:{\displaystyle \left(\frac{8}{3};\;-1 \right)}$

Ora per trovare la retta tangente all’ellisse utilizziamo la formula di sdoppiamento:

$\frac{x\cdot x_0}{a^2}+\frac{y\cdot y_0}{b^2}=1$

Dove

$a^2 = 8;\hspace{15cm} b^2 = 9;\hspace{15cm} x_0=\frac{8} {3};\hspace{15cm} y _ 0 = -1$

Sostituendo avremo:

$\frac{x\cdot \frac{8}{3}}{8}+\frac{-y}{9}=1$

$\frac{\frac{8}{3}x}{8}+\frac{-y}{9}=1$

$\frac{8}{3}x\cdot \frac{1}{8}+\frac{-y}{9}-1=0$

$\frac{x}{3}-\frac{y}{9}-1=0$

$\frac{3x-y-9}{9}=\frac{0}{9}$

La retta tangente all’ellise è quindi:

y=3x−9

Rik Giugno 3, 2021 G.A. Ellisse, Geometria Analitica Geometria Analitica No Comments »

Determina l’area del triangolo ABF, dove A e B sono i punti di intersezione della retta di equazione y=-2x+3

Determinare l’area di un triangolo rettangolo avente un angolo di 30° e il perimetro di 12(1+√3) cm

L	M	M	G	V	S	D
		1	2	3	4	5
6	7	8	9	10	11	12
13	14	15	16	17	18	19
20	21	22	23	24	25	26
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Ora troviamo l’ordinata del fuoco che è la stessa ordinata del punto e che deve essere negativa perchè il punto si deve trovare nel quarto quadrante: questo significa che l’ascissa è positiva e l’ordinata è negativa.

Fuoco con ordinata negativa:

Ora sostituisco l’ordinata del fuoco appena tovata nell’equazione dell’ellisse per trovare l’ascissa del punto:

Dobbiamo prendere l’ascissa positiva perchè il punto si trova nel quarto quadrante, quindi il punto sarà:

Ora per trovare la retta tangente all’ellisse utilizziamo la formula di sdoppiamento:

Dove

Sostituendo avremo:

La retta tangente all’ellise è quindi:

y=3x−9

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Ora troviamo l’ordinata del fuoco che è la stessa ordinata del punto e che deve essere negativa perchè il punto si deve trovare nel quarto quadrante: questo significa che l’ascissa è positiva e l’ordinata è negativa.

Fuoco con ordinata negativa:

Ora sostituisco l’ordinata del fuoco appena tovata nell’equazione dell’ellisse per trovare l’ascissa del punto:

Dobbiamo prendere l’ascissa positiva perchè il punto si trova nel quarto quadrante, quindi il punto sarà:

Ora per trovare la retta tangente all’ellisse utilizziamo la formula di sdoppiamento:

Dove

Sostituendo avremo:

La retta tangente all’ellise è quindi:

y=3x−9

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