Determina l’area del triangolo ABF, dove A e B sono i punti di intersezione della retta di equazione y=-2x+3

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[su_note note_color=”#faff66″ text_color=”#1416bc”] Determina l’area del triangolo ABF, dove A e B sono i punti di intersezione della retta di equazione y=−2x+3 con l’ellisse di equazione $\frac{x^2}{18}+\frac{y^2}{9}=1$ e F è il fuoco dell’ellisse di ascissa negativa.[/su_note]

Ora trovo i punti A e B mettendo a sistema la retta di equazione y=-2x+3 con l’ellisse di equazione $\frac{x^2}{18}+\frac{y^2}{9}=1$ :

$\begin{cases} \displaystyle \frac{x^2}{18}+\frac{y^2}{9}=1 \\\displaystyle y=-2x+3\end{cases}$

Ora sostituisco la y della retta nella prima equazione del sistema:

$\frac{x^2}{18} + \frac{(-2x+3)^2}{9} = 1$

$\frac{x^2}{18}+\frac{4x^2-12x+9}{9}=1$

$\frac{x^2+8x^2+18-24x}{18}=\frac{18}{18}$

semplifico

9x²−24x=0

3x²−8x=0

x·(3x−8)=0

le soluzioni sono: x1= 0 e x2=8/3

Ora sostituisco le “x” appena trovate nella retta per trovare le “y”

per x= 0 → y= 3

per x= 8/3 → y= −2·8/3+3= −16/3+3= −7/3

Quindi i punti sono: A(0; 3) e B(8/3; −7/3)

Ora trovo il fuoco F dell’ellisse di ascissa negativa con la seguente formula:

$F= (-\sqrt{a^2-b^2};\; 0) \Rightarrow (- \sqrt{18-9};\; 0) \Rightarrow (- \sqrt{9};\; 0) \Rightarrow (-3;\; 0)$

Disegniamo il grafico:

Ora determino l’area del triangolo ABF:

calcolo la base del triangolo cioè la misura della corda AF:

$AF= \sqrt{(0+3)^2+(3-0)^2} \Rightarrow \sqrt{9+9} \Rightarrow \sqrt{18} \Rightarrow 3 \sqrt{2}$

Ora trovo l’altezza BH del triangolo trovando prima la retta che passa per AF e poi facendo la distanza di un punto da una retta cioè dal punto B alla retta che passa per AF:

$\mbox{retta } AF= \frac{x-x1}{x2-x1}=\frac{y-y1}{y2-y1}$

$\frac{x-0}{-3-0}=\frac{y-3}{0-3} \Rightarrow \frac{-x}{3}=\frac{3-y}{3} \Rightarrow -x= 3-y$

la retta che passa per AF è quindi x−y+3= 0

ora applico la distanza retta-punto con la seguente formula

$d=\frac{|a\cdot x_0+b\cdot y_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

a,b,c della retta che passa per AF quindi: a= 1, b= −1, c= 3 invece le coordinate xo= 8/3 e yo= −7/3 sono le coordinate del punto B quindi:

$BH=\frac{\displaystyle \left|\frac{8}{3}\cdot 1-1\cdot \left (- \frac{7}{3}\right)+3 \right|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}$

$BH=\frac{\displaystyle \left|\frac{8}{3}+\frac{7}{3}+3 \right|}{\sqrt{2}}$

$BH= \frac{8}{\sqrt{2}} \mbox{ razionalizzo } \frac{8}{\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}$

Ora trovo l’area del triangolo ABF

$Area_{ABF}=\frac{AF\cdot BH}{2}= \frac{3\sqrt{2}\cdot 4\sqrt{2}}{2} = \frac{24}{2} = 12$

Rik Giugno 2, 2021 G.A. Ellisse, Geometria Analitica Geometria Analitica No Comments »

Determina l’equazione dell’ellisse avente due vertici in (6; 0) e (0; 4) e calcola la misura della corda individuata sulla retta di equazione y-2=0

Trova la retta tangente all’ellisse di equazione x²/8+y²/9=1

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