Determinare l’area di un triangolo rettangolo avente un angolo di 30° e il perimetro di 12(1+√3) cm

[su_note note_color=”#faff66″ text_color=”#1416bc”]Determinare l’area di un triangolo rettangolo avente un angolo di 30° e il perimetro di 12(1+√3) cm.[/su_note]

Abbiamo allora un triangolo rettangolo con gli angoli interni di 30°, 60° e 90°. Dalla teoria sappiamo che in questo tipo di triangolo (essendo la metà di un triangolo equilatero) il cateto che si oppone all’angolo di 30° è la metà dell’ipotenusa mentre quello che si oppone all’angolo di 60° è la metà dell’ipotenusa per √3; per cui considerando il nostro triangolo in figura, indicando con x l’ipotenusa AB, avremo che il cateto minore AC (che si oppone a 30°) sarà x/2 mentre il cateto maggiore BC (che si oppone a 60°) sarà x/2•√3.
Il perimetro del triangolo invece sarà dato da:

AB+BC+AC=2p

Conoscendo il valore del perimetro e sostituendo i valori dei lati in funzione della x avremo la seguente equazione:

$x+\frac{x}{2}+\frac{x}{2}\sqrt{3}=12(1+\sqrt{3})$

m.c.m. = 2 per cui avremo:

$2x+x+x\sqrt{3}=24(1+\sqrt{3})$

$3x+x\sqrt{3}=24(1+\sqrt{3})$

$x(3+\sqrt{3})=24(1+\sqrt{3})$

$x=\displaystyle \frac{24(1+\sqrt{3})}{3+\sqrt{3}}$

Razionalizzando avremo:

$x=\frac{24(1+\sqrt{3})}{3+\sqrt{3}}\cdot \frac{3-\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}$

$x=\frac{24(3-\sqrt{3}+3\sqrt{3}-3)}{9-3}$

$x=\frac{24(2\sqrt{3})}{6}=8\sqrt{3}$

$AB=x=8\sqrt{3}$

$AC=\frac{x}{2}=\frac{8\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}$

$AC=\frac{x}{2}\sqrt{3}=\frac{8\sqrt{3}}{2}\sqrt{3}=4\sqrt{3}\sqrt{3}=12$

A questo punto, conoscendo i due cateti, possiamo calcolare l’area del triangolo rettangolo che è dato dal prodotto dei due cateti diviso 2:

$Area=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BC$

$Area=\frac{1}{2}\cdot 4\sqrt{3}\cdot 12=24\sqrt{3}$

skuolablog Luglio 19, 2021 60° e 90°, Esercizi di geometria, Geometria, Triangolo di 30° Geometria No Comments »

Trova la retta tangente all’ellisse di equazione x²/8+y²/9=1

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