Rispetto al fascio di circonferenze x²+y²-(k+3)x+(k-1)y-k-3=0 determinare le circonferenze che verificano le seguenti condizioni

Verifica di matematica del 13/05/2021 esercizio 2

[su_note note_color=”#faff66″ text_color=”#1416bc”]Rispetto al fascio di circonferenze x²+y²-(k+3)x+(k-1)y-k-3=0 determinare le circonferenze che verificano le seguenti condizioni: a) hanno raggio uguale a 4; b) hanno il centro appartenente alla retta x+2y+1=0; c) staccano sulla retta y=1 una corda di lunghezza √37; d) non hanno punti in comune con l’asse delle ascisse.[/su_note]

x²+y²−(k+3)x+(k−1)y−k−3=0

x²+y²−kx−3x+ky−y−k−3=0

x²+y²−3x−y−3+k(−x+y−1)=0

a) determinare le circonferenze che hanno raggio uguale a 4

Dall’equazione del fascio di circonferenze utilizzando i coefficienti a, b, c in funzione di k calcoliamo il raggio e lo imponiamo uguale a 4:

Imponiamo il raggio uguale a 4

Eleviamo al quadrato ambo i membri:

moltiplichiamo ambo i membri per 4:

2k²+8k+22−64=0

2k²+8k−42=0

dividiamo tutto per 2:

k²+4k−21=0

Calcoliamo il Delta:

Δ = b²−4ac = 16−4·1·(−16) = 100

k1 = (−4−10)/2 = −142/2 = −7
k2 = (−4+10)/2 = 6/2 = 3

Sostituiamo i valori di k appena trovati nell’equazione del fascio x²+y²−3x−y−3+k(−x+y−1)=0

per k=−7 avremo:

x²+y²−3x−y−3−7(−x+y−1)=0

x²+y²−3x−y−3+7x−7y+7=0

x²+y²+4x−8y+4=0

per k=3 avremo:

x²+y²−3x−y−3+3(−x+y−1)=0

x²+y²−3x−y−3−3x+3y−3=0

x²+y²−6x+2y−6=0

b) determinare le circonferenze che hanno il centro appartenente alla retta x+2y+1=0

Dall’equazione del fascio di circonferenze calcoliamo le coordinate del centro in funzione di k:

Le coordinate del centro devono appartenere alla retta x+2y+1=0 per cui sostituiamo nell’equazione della retta al posto della x e della y le coordinate del centro:

moltiplico ambo i membri per 2 ottenendo:

k+3-2k+2=0

−k+5=0 da cui k=−5

Sostituiamo k=−5 nell’equazione del fascio x²+y²−3x−y−3+k(−x+y−1)=0

x²+y²−3x−y−3−5(−x+y−1)=0

x²+y²−3x−y−3+5x−5y+5=0

c) determina le circonferenze che staccano sulla retta y=1 una corda di lunghezza √37;

mettiamo a sistema l’equazione del fascio con la retta y=1 per trovare i loro punti di intersezione:

Sostituiamo il valore y=1 nella 1^ equazione:

x²+1−(k+3)x+k−1−k-3=0

x²−(k+3)x−3=0

Calcoliamo il Delta:

Δ = b²−4ac = (−k-3)²+12 = k²+6k+9+12 = k²+6k+21

Ora calcoliamo x1 e x2:

Quindi abbiamo trovato le coordinate delle ascisse dei due punti in funzione di k. Ora avendo questi due punti la stessa ordinata (y=1) calcoliamo la distanza tra x1 e x2 e poniamola uguale a √37:

Eleviamo al quadrato ambo i membri:

k²+6k+21=37

k²+6k+21−37=0

k²+6k−16=0

Calcoliamo il Delta:

Δ = b²−4ac = 36+64=100

Ora calcoliamo x1 e x2:

Pertanto i nostri punti che staccano sulla retta y=1 una corda di lunghezza √37 sono:

A(-8; 1) e B(2; 1)

d) determina le circonferenze che non hanno punti in comune con l’asse delle ascisse.

Partiamo dall’equazione del fascio: x²+y²-(k+3)x+(k-1)y-k-3=0; sappiamo inoltre che l’asse x ha per equazione y=0.
Sostituiamo y=0 nell’equazione del fascio ottenendo:

x²−(k+3)x−k−3=0

x²−(k+3)x−(k+3)=0

Calcoliamo il Delta:

Δ = b²−4ac = (−k−3)²+4(k+3) = k²+6k+9+4k+12 = k²+10k+21

Poniamo il Delta = 0 e calcoliamo i valori di k per cui la circonferenza interseca l’asse x:

k²+10k+21=0

Calcoliamo il Delta:

Δ = b²−4ac = 100−84=16

Ora calcoliamo x1 e x2:

Quindi le circonferenze che non hanno punti in comune con l’asse delle ascisse si avranno per: