Trovare l’equazione della circonferenza γ1 avente diametro AB, dove A(2; 2) e B(-4; 2)
Verifica di matematica del 13/05/2021 esercizio 1
[su_note note_color=”#faff66″ text_color=”#1416bc”]Trovare l’equazione della circonferenza γ1 avente diametro AB, dove A(2; 2) e B(-4; 2), ed indicare con C1 il suo centro. a) Determinare l’equazione della circonferenza γ2 passante per C1, per l’origine O e per D(4; 0), indicando con C2 il suo centro. b) Determinare le equazioni delle rette t1 e t2 tangenti a γ2 nei suoi punti di intersezione con l’asse x. c) Detto H il punto di intersezione di t1 e t2, calcolare l’area del quadrilatero OC2HD.[/su_note]
Osservando le coordinate di A e B notiamo che i due punti hanno stessa ordinata (y=2) quindi giacciono sulla stessa retta pertanto la lunghezza di AB è data:
AB=|x1−x2|=|2−(−4)|=6
AB è il diametro della circonferenza γ1 e disegnando il segmento su un sistema di assi cartesiani possiamo calcolare le coordinate del punto medio di AB che rappresentano le coordinate del centro della circonferenza:
C1(−1; 2)
Il raggio della circonferenza invece è la metà del diametro per cui:
r=6/2=3
A questo punto conoscendo coordinate del centro e raggio possiamo scrivere l’equazione della circonferenza γ1:
(x−α)²+(y−β)²=r²
(x+1)²+(y−2)²=3²
x²+2x+1+y²−4y+4−9=0
x²+y²+2x−4y−4=0
a) Determinare l’equazione della circonferenza γ2 passante per C1, per O e per D(4; 0).
Partendo dall’equazione generica della circonferenza
x²+y²+ax+by+c=0
Consideriamo l’equazione della circonferenza passante per C1 quindi sostituiamo le coordinate di C1 nell’equazione generica della circonferenza ottenendo:
1+4−a+2b+c=0
Consideriamo la circonferenza passante per O sostituiamo le coordinate di O(0; 0) nell’equazione generica della circonferenza ottenendo:
c=0
Consideriamo la circonferenza passante per O(0; 0) sostituiamo le coordinate di O nell’equazione generica della circonferenza ottenendo:
16+0+4a+0+c=0
Quindi il nostro sistema per trovare i coefficienti a, b, c della circonferenza sarà:
Sostituisco c=0 dalla 2^ equazione nella 1^ e 3^ equazione ottenendo:
Calcolo a dalla 3^ equazione:
4a+16=0 da cui a=−4
Sostituisco a nella 1^ equazione e trovo b:
−(−4)+2b+5=0
4+2b+5=0
b=−9/2
Ora possiamo scrivere l’equazione della nostra circonferenza:
x²+y²−4x-9/2y=0
Calcoliamo le coordinate del centro della circonferenza:
b) Determinare le equazioni delle rette t1 e t2 tangenti a γ2 nei suoi punti di intersezione con l’asse x.
L’asse x ha equazione y=0, mettendo a sistema l’equazione della parabola trovata nel punto a) con y=0 troviamo i punti di intersezione della circonferenza con l’asse x:
x²−4x=0
x(x−4)=0 da cui x1=0 e x2=4
Quindi i due punti di intersezione sono A(0; 0) e B(4; 0).
Calcoliamo le rette tangenti alla circonferenza nei punti A e B con la formula dello sdoppiamento:
Per il punto A avremo che a=−4; b=-9/2; c=0; xo=0; yo=0
−8x−9y=0
Per il punto B avremo che a=−4; b=−9/2; c=0; xo=4; yo=0
8x−9y−32=0
Mettendo a sistema le due rette appena trovate calcoliamo le coordinate del loro punto di intersezione:
Prima addiziono membro a membro ottenendo:
−18y−32=0 da cui y=−32/18 quindi y=−16/9
Sottraendo membro a membro invece ottengo:
−16x+32=0 da cui x=32/16 quindi x=2
Il punto di intersezione tra le due tangenti ha per coordinate:
H(2; −16/9)
Riportando i punti del quadrilatero su un sistema di assi cartesiani otteniamo il seguente grafico:
Da dal grafico abbiamo che: