Nel fascio di circonferenze generate dalle circonferenze di equazione x²+y²+4x-2y-18=0 e x²+y²-9=0

Es. di Geometria Analitica n.330 pag.407

[su_note note_color=”#faff66″ text_color=”#1416bc”]Nel fascio di circonferenze generate dalle circonferenze di equazione x²+y²+4x-2y-18=0 e x²+y²-9=0 determina e rappresenta l’equazione della circonferenza: a) passante per l’origine; b) che ha il centro di ascissa 1.[/su_note]

Scriviamo l’equazione del fascio generato dalle due circonferenze:

x²+y²+4x-2y-18+k(x²+y²-9)=0

a) determina e rappresenta l’equazione della circonferenza passante per l’origine

Sostituiamo al posto della x e della y del fascio le coordinate dell’origine:

-18+k(-9)=0 da cui k = -18/9 = -2

Sostituiamo k=-2 nell’equazione del fascio ottenendo:

x²+y²+4x-2y-18-2x²-2y²+18=0

-x²-y²+4x+4x-2y=0

x²+y²-4x+4x+2y=0

per rappresentare la circonferenza e disegnarne il grafico calcoliamo il centro e il raggio della circonferenza:

Calcoliamo le coordinate del centro della circonferenza e poi il raggio:

C\left ( -\frac{a}{2},\; -\frac{b}{2}\right )\Rightarrow C\left ( -\frac{-4}{2},\; -\frac{2}{2} \right)\Rightarrow C(2,\; -1)

r=\sqrt{\frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{4}-c}

r=\sqrt{\frac{(-4)^2}{4}+\frac{2^2}{4}-0}

r=\sqrt{\frac{16}{4}+\frac{4}{4}-0}

r=\sqrt{\frac{20}{4}}=\sqrt{\frac{4\cdot 5}{4}}=\sqrt{5}

Conoscendo il Centro e raggio ora possiamo rappresentare la circonferenza:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b) determinare e rappresentare l’equazione della circonferenza con centro di ascissa 1:

partendo dall’equazione del fascio moltiplichiamo per k la 2^ equazione ottenendo:

x²+y²+4x-2y-18+k(x²+y²-9)=0

x²+y²+4x-2y-18+kx²+ky²-9k=0

(k+1)x²+(k+1)y²+4x-2y-18-9k=0

dividiamo ambo i membri per k+1:

x^2+y^2+\frac{4}{k+1}x-\frac{2}{k+1}y-\frac{18+9k}{k+1}=0

Sappiamo che il centro ha ascissa 1 quindi -a/2=1 per cui avremo:

-\frac{a}{2}=1

-\frac{4}{k+1}=1

-2=k+1 da cui k=-3

sostituendo nell’equazione del fascio avremo:

x²+y²+4x-2y-18-3(x²+y²-9)=0

x²+y²+4x-2y-18-3x²-3y²+27=0

-2x²-2y²+4x-2y+9=0

Dividiamo ambo i membri per -2 ottenendo:

x²+y²-2x+y-9/2=0

per rappresentare la circonferenza e disegnarne il grafico calcoliamo il centro e il raggio della circonferenza:

Calcoliamo le coordinate del centro della circonferenza e poi il raggio:

C\left ( -\frac{a}{2},\; -\frac{b}{2}\right )\Rightarrow C\left ( -\frac{-2}{2},\; -\frac{1}{2} \right)\Rightarrow C \left(1,\; -\frac{1}{2} \right)

r=\sqrt{\frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{4}-c}

r=\sqrt{\frac{(-2)^2}{4}+\frac{1^2}{4}-0}

r=\sqrt{\frac{4}{4}+\frac{1}{4}-0}

r=\sqrt{\frac{5}{4}}=\frac{1}{2}\sqrt{5}

Conoscendo il Centro e raggio ora possiamo rappresentare la circonferenza:

Maggio 13, 2021 , Geometria Analitica No Comments »


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