[Geometria] Stabilire per quali valori del parametro reale k risulta invertibile la matrice

Esame geometria Giugno 2019

Esercizio 1
Stabilire per quali valori del parametro reale k risulta invertibile la matrice:

Posto poi k = 0, calcolare la matrice A⁻¹. 

Dalla teoria sappiamo che una matrice è invertibile se e solo se il suo determinante è diverso da zero, per cui per calcolare il determinante della nostra matrice bisogna ricordare che considerando la matrice:

Sviluppiamo secondo la prima riga (è comunque indifferente sviluppare secondo una qualsiasi riga o colonna) mettendo il segno positivo se la somma degli indici dell’elemento è pari ed il segno negativo se la somma degli indici dell’elemento è dispari. Posso anche dire che moltiplico ogni termine della riga per il suo complemento algebrico nel modo seguente:

proseguendo avremo:

Ritornando alla nostra matrice di partenza avremo:

Come abbiamo detto precedentemente, una matrice è invertibile se e solo se il suo determinante è diverso da zero quindi poniamo il detA≠0 ottenendo:

moltiplico ambo i membri per -1 cambiando i segni:

Quindi A è invertibile per ∀ k ≠ ± 2.

Ponendo k = 0 avremo:

Ora vediamo cosa si fa per calcolare la matrice inversa di A.
Come nei numeri non è possibile fare fare l’inverso di 0 (zero) qui non possiamo fare la matrice inversa delle matrici il cui determinante vale zero (questo tipo di matrici vengono chiamate matrici singolari).

Diciamo subito che calcolare la matrice inversa di una matrice data è un po’ laborioso, comunque le operazioni da svolgere sono le seguenti:
1. calcolare il valore del determinante della matrice, chiamiamolo detA e vediamo se è diverso da zero; se è uguale a zero non esiste la matrice inversa;
2. calcolare la trasposta della matrice di partenza (basta scambiare tra loro le righe con le colonne);
3. per ogni elemento della matrice trasposta calcolane il complemento algebrico, considerando il complemento algebrico come elemento otterremo una nuova matrice, chiamiamola A’ (matrice aggiunta);
4. infine dividiamo la matrice A’ per detA (cioè dividiamo ogni termine per detA) e otteniamo l’inversa della matrice quadrata di partenza.

Partiamo con il nostro calcolo:

1. Calcoliamo il determinante di A applicando la regola vista in precedenza:

2. Calcoliamo la trasposta della matrice di partenza scambiando le righe con le colonne:

3. per ogni elemento della matrice trasposta calcoliamo il complemento algebrico.

Definiamo complemento di un elemento qualunque il determinante che si ottiene togliendo la riga e la colonna su cui si trova l’elemento in questione.
Definiamo invece complemento algebrico di un elemento qualunque il determinante che si ottiene togliendo la riga e la colonna su cui si trova l’elemento in questione con il segno positivo se h+k=numero pari ed il segno negativo se h+k=numero dispari.

Calcoliamo i complementi algebrici della matrice:

Scriviamo ora la matrice aggiunta A’

4. Infine possiamo scrivere la matrice inversa:

Che possiamo lasciare così com’è oppure moltiplicare ogni elemento della matrice per 1/4 ottenendo: