[Geometria] Determinare la dimensione e una base del sottospazio R4 costituito dalle soluzioni del seguente sistema di 3 equazioni in 4 incognite

Esame geometria Giugno 2019

Esercizio 2

Determinare la dimensione e una base del sottospazio R4 costituito dalle soluzioni del seguente sistema di 3 equazioni in 4 incognite.

$\begin{cases} 2x_1+x_2-x_3+x_4 &= 0 \\ x_1+x_2-x_3-x_4 &= 0 \\ x_1+2x_2-2x_3-4x_4 &= 0 \end{cases}$

Dal sistema otteniamo la seguente matrice:
$A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & 2 & -2 & -4 \end{pmatrix}\\$

Calcoliamo per prima cosa il minore della matrice

$M=\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \\ \end{vmatrix}=2-1=1\neq 0$

Essendo M ≠ 0 (minore di A diverso da 0) il rango di A è almeno 2; per vedere se è 2 bisogna considerare gli orlati di questo minore, se almeno uno degli orlati è NON NULLO il rango è 3 altrimenti se sono entrambi nulli il rango è 2.

Orliamo il minore M prima con la 3^ riga e la 3^ colonna ottenendo:

$M'=\begin{vmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & -2 \end{vmatrix}=$

$=2\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & -2 \end{vmatrix}-1\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix}-1\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix}$

$=2\cdot(-2+2)-1\cdot(-2+1)-1\cdot(2-1) =$

$=2\cdot(0)-1\cdot(-1)-1\cdot(1) =0+1-1=0$

Orliamo ora il minore M con la 3^ riga e la 4^ colonna ottenendo:

$M''=\begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & -4 \end{vmatrix}=$

$=2\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & -4 \end{vmatrix}-1\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -4 \end{vmatrix}+1\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix}$

$=2\cdot(-4+2)-1\cdot(-4+1)+1\cdot(2-1) =$

$=2\cdot(-2)-1\cdot(-3)+1\cdot(1) =-4-3+1=0$

Essendo entrambi gli orlati di M (M’ e M”) uguali a zero, il rango della matrice A è uguale a 2 (rk(A)=2).

La dimensione invece è data da n – rk(A) = 4 – 2 = 2, dove n è il numero delle incognite del sistema e rk(A) il rango della matrice A, quindi compatibile con $\infty^{n-rk(A)}=\infty^{4-2}=\infty^2$ soluzioni.

Per determinare una base dello spazio delle soluzioni si deve assegnare a n-rk(A) incognite il ruolo di parametro libero e ricavare le infinite soluzioni, che dipendono da uno o più parametri.
A questo punto si devono esprimere le soluzioni come combinazione lineare avente per coefficienti i parametri liberi. I vettori che formano la combinazione lineare costituiscono una base dello spazio delle soluzioni.

Nel nostro caso per trovare una base assegniamo a n-rk(A)=2 incognite il ruolo di parametro e ricaviamo le ∞² soluzioni del sistema.