ESERCIZI SUI NUMERI COMPLESSI

ESERCIZI SUI NUMERI COMPLESSI pag.17 es.5

[su_note note_color=”#faff66″ text_color=”#1416bc”]Siano dati i numeri complessi $z1=5-4i\;\mbox{ e }\; z2=-7+2i$ . Calcolare la seguente espressione: $Arg[z1+z2]+\overline{\left(\frac{1}{z1\cdot z2} \right )}$ [/su_note]

Calcoliamo la somma z1+z2
$z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i$

$z1+z2=(5-7)+(-4+2)i$

$z1+z2=-2-2i$

Calcoliamo ora l’argomento di z1+z2

$\theta=Arg(z1+z2)=arctan\left(\frac{-2}{-2}\right)$

$\theta=Arg(z1+z2)=arctan(1)=45^\circ=\frac{\pi}{4}$

Nel nostro caso specifico sia a (che si trova sull’asse delle ascisse) che b (che si trova sull’asse delle ordinate) risultano entrambi negativi pertanto il nostro angolo si trova nel III Quadrante del piano di Argand-Gauss e corrisponde a 180°+45°=225° (π + π/4 = 5/4π).

$\theta=Arg(z1+z2)=\frac{5}{4}\pi$

Calcoliamo ora z1•z2:
$z1\cdot z2=(5-4i)\cdot (-7+2i)$

$z1\cdot z2=-35+10i+28i-8i^2$

ora ricordando che i² = -1 avremo:
$z1\cdot z2=-35+38i+8=-27+38i$

$z1\cdot z2=-27+38i$

Ora dalla teoria applichiamo la formula dell’inverso di z:
$\frac{1}{z}=z^{-1}=\left(\frac{a}{a^2+b^2}-\frac{b}{a^2+b^2}i\right)$

Calcoliamo ora il reciproco di z1•z2:

$(z1\cdot z2)^{-1}=\left(\frac{-27}{(-27)^2+(38)^2}-\frac{38}{(-27)^2+(38)^2}i\right)$

Calcoliamo ora il coniugato del reciproco di z1•z2:

$\overline{(z1\cdot z2)^{-1}}=\left(-\frac{27}{2173}+\frac{38}{2173}i\right)$

A questo punto abbiamo tutti gli elementi per calcolare la nostra espressione di partenza:
$Arg[z1+z2]+\overline{\left(\frac{1}{z1\cdot z2} \right )}=\frac{5}{4}\pi-\frac{27}{2173}+\frac{38}{2173}i$

ESERCIZI SUI NUMERI COMPLESSI. Dato un numero complesso z calcolare z³

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