ESERCIZI SUI NUMERI COMPLESSI. Dato un numero complesso z calcolare z³

ESERCIZI SUI NUMERI COMPLESSI pag.3 es.7

Sia dato il numero complesso z=\sqrt{2}+i\sqrt{2}, calcolare z³.

Trasformiamo il numero complesso dato nella forma esponenziale. Per poter esprimere il nostro numero complesso in forma esponenziale abbiamo bisogno del modulo (r) e dell’argomento (θ)

Per prima cosa calcoliamo r che è uguale al modulo di z
r=\mid z\mid=\sqrt{(\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2}

r=\mid z\mid=\sqrt{2+2}=\sqrt{4}=2

Calcoliamo ora θ=Arg(z):
\theta =Arg(z)=arctan\left(\frac{b}{a}\right)

\theta =Arg(z)=arctan\left(\frac{\sqrt2}{\sqrt2}\right)

\theta =Arg(z)=arctan(1)

L’arco la cui tangente = 1 è 45° cioè π/4; infatti osservando il numero complesso in forma cartesiana a e b sono entrambi > 0 quindi l’angolo si trova nel I Quadrante del piano di Argand-Gauss.

Ora abbiamo tutto per trasformare il nostro numero complesso in forma esponenziale:
z=r\cdot e^{i\theta}=2\cdot e^{i\frac{\pi}{4}}

Calcoliamo ora z³ :
z^3=(2\cdot e^{i\frac{\pi}{4}})^3

z^3=(2^3\cdot e^{i\frac{\pi}{4}\cdot 3})

z^3=(8\cdot e^{i\frac{3}{4}\pi})

Calcoliamo ora z³ dal numero iniziale in forma cartesiana:
z^3=(\sqrt{2}+i\sqrt{2})^3

z^3=(\sqrt{2})^3+(i\sqrt{2})^3+3\cdot (\sqrt{2})^2\cdot i\sqrt{2}+3\cdot (i\sqrt{2})^2\cdot \sqrt{2}

z^3=(\sqrt{2})^2\cdot \sqrt{2}+(i\sqrt{2})^2\cdot (i\sqrt{2})+3\cdot (\sqrt{2})^2\cdot i\sqrt{2}+3\cdot (i\sqrt{2})^2\cdot \sqrt{2}

z^3=2\sqrt{2}+2i^2\cdot i\sqrt{2}+3\cdot 2\cdot i\sqrt{2}+3\cdot (2i^2)\cdot \sqrt{2}

Ora ricordando che:
i^2=-1 \;\;\mbox{e\;che}\;\;i^3=i^2\cdot i=-1\cdot i=-i

Possiamo scrivere:

z^3=2\sqrt{2}+2(-1)\cdot i\sqrt{2}+6 i\sqrt{2}+3\cdot 2(-1)\cdot \sqrt{2}

z^3=2\sqrt{2}-2i\sqrt{2}+6 i\sqrt{2}-6\sqrt{2}

z^3=2\sqrt{2}-\underline{2i\sqrt{2}}+\underline{6 i\sqrt{2}}-6\sqrt{2}

z^3=-4\sqrt{2}+4i\sqrt{2}

Uguagliando i due risultati ottenuti per z³ in forma esponenziale e in forma cartesiana avremo:
8\cdot e^{i\frac{3}{4}\pi}=-4\sqrt{2}+4i\sqrt{2}

Maggio 18, 2019 Università No Comments »


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