ESERCIZI SUI NUMERI COMPLESSI

ESERCIZI SUI NUMERI COMPLESSI pag.20 es.5

[su_note note_color=”#faff66″ text_color=”#1416bc”]Siano dati i numeri complessi $z1=\sqrt{7}+\sqrt{7}i\;\;\mbox{ e }\;\; z2=\sqrt{5}-\sqrt{15}i$ . Calcolare la seguente espressione: $\overline{(z_1^2-z_2^2)}+Arg(z_1)+Arg(z_2)$ [/su_note]

Calcoliamo l’argomento di z1:

$\theta_1=Arg(z_1)=arctan\left(\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}\right)$

$\theta_1=Arg(z_1)=arctan(1)=45^\circ=\frac{\pi}{4}$

Nel nostro caso specifico sia a (che si trova sull’asse delle ascisse) che b (che si trova sull’asse delle ordinate) risultano entrambi positivi pertanto il nostro angolo (θ1) si trova nel I Quadrante del piano di Argand-Gauss e corrisponde a 45° = π/4.

Calcoliamo l’argomento di z2:

$\theta_2=Arg(z_2)=arctan\left(-\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{5}}\right)$

$\theta_2=Arg(z_2)=arctan\left(-\sqrt{\frac{15}{5}}\right)$

$\theta_2=Arg(z_2)=arctan\left(-\sqrt{3}\right)=-60^\circ=-\frac{\pi}{3}$

Nel nostro caso specifico a (che si trova sull’asse delle ascisse) è positivo mentre b (che si trova sull’asse delle ordinate) risulta negativo pertanto il nostro angolo (θ2) si trova nel IV Quadrante del piano di Argand-Gauss e corrisponde a -60° oppure meglio ancora a 360°-60° = 300° = 5/3π.

$\theta_2=Arg(z_2)=arctan\left(-\sqrt{3}\right)=300^\circ=\frac{5}{3}\pi$