Esercizi sui numeri complessi

ESERCIZI SUI NUMERI COMPLESSI pag.8 es.5

[su_note note_color=”#faff66″ text_color=”#1416bc”]Siano dati i numeri complessi $z1=-2\sqrt{5}+i2\sqrt{5}$ e $z2=\sqrt{10}-i\sqrt{30}$ . Calcolare la seguente espressione: $\overline{z1+z2}+Arg(z1)-Arg(z2)$ [/su_note]

Per prima cosa calcoliamo la somma z1+z2 per poi calcolare il coniugato della somma:
$z1+z2=-2\sqrt{5}+i2\sqrt{5}+\sqrt{10}-i\sqrt{30}$

$z1+z2=-2\sqrt{5}+\sqrt{10}+i(2\sqrt{5}-\sqrt{30})$

Calcoliamo ora il coniugato di z1+z2:
$\overline{z1+z2}=-2\sqrt{5}+\sqrt{10}-i(2\sqrt{5}-\sqrt{30})$

$\overline{z1+z2}=-2\sqrt{5}+\sqrt{10}+i(\sqrt{30}-2\sqrt{5})$

Adesso non ci resta che calcolare gli Argomenti di z1 e z2, sommarli tra loro e poi sommare il risultato al coniugato di (z1+z2):

Per l’Arg(z1) dobbiamo fare un piccolo ragionamento. Le coordinate a e b di z1 sono a<0 e b>0 (cioè come se fosse sul piano cartesiano x<0 e y>0) quindi il nostro argomento si trova nel II QUADRANTE del piano di Argand-Gauss quindi l’angolo θ (theta) è compreso tra 90° e 180° cioè 90° < θ < 180° che espresso in radianti sarebbe: π/2 < θ < π.
$z1=-2\sqrt{5}+i2\sqrt{5}$

$Arg[z1]=arctan\left(\frac{2\sqrt{5}}{-2\sqrt{5}}\right)$

$Arg[z1]=arctan(-1)$

Dalla trigonometria sappiamo che l’angolo la cui tangente è -1 corrisponde all’angolo di -45°; ma a noi serve l’angolo nel II Quadrante che sarà 180° – 45° = 130° che trasformato in radianti sarà:
$\theta (rad)=\frac{\theta^\circ\cdot \pi}{180^\circ}$

Essendo theta in radianti il nostro Argomento di z1 possiamo scrivere:
$Arg[z1]=\frac{135^\circ\cdot \pi}{180^\circ}$

$Arg[z1]=\frac{3}{4}\pi$

Per l’Arg(z2) dobbiamo fare lo stesso ragionamento fatto per z1. Le coordinate a e b di z2 sono a>0 e b<0 (cioè come se fosse sul piano cartesiano x>0 e y<0) quindi il nostro argomento si trova nel IV QUADRANTE del piano di Argand-Gauss quindi l’angolo θ (theta) è compreso tra 270° e 360° cioè 270° < θ < 360° che espresso in radianti sarebbe: 3/2π < θ < 2π.
$z2=\sqrt{10}-i\sqrt{30}$

$Arg[z2]=arctan\left(\frac{-\sqrt{30}}{\sqrt{10}}\right)$

$Arg[z2]=arctan\left(-\sqrt{\frac{30}{10}}\right)$

$Arg[z2]=arctan(-\sqrt{3}$

Dalla trigonometria sappiamo che l’angolo la cui tangente è $-\sqrt{3}$ corrisponde all’angolo di -60°; ma a noi serve l’angolo nel IV QUADRANTE che sarà 360° – 60° = 300° che trasformato in radianti sarà:
$\theta (rad)=\frac{\theta^\circ\cdot \pi}{180^\circ}$