DISEQUAZIONI logaritmiche

DISEQUAZIONI logaritmiche pag.1 es.1c

Di seguito riporto una disequazione logaritmica e come ho avuto modo già di dire, anche se questo esercizio è stato assegnato ad un esame universitario di Matematica Generale, per la risoluzione ho preferito effettuare qualche passaggio in più in modo da poter essere ben compreso anche dai lettori che in questo momento frequentano le scuole secondarie di secondo grado.

Affinché la disequazione abbia significato bisogna imporre che l’argomento del logaritmo presente nella disequazione sia positivo e poi essendo la base del logaritmo >1 dovrà anche essere:

Ora mettendo a sistema la condizione di esistenza e la disequazione avremo:

Un po’ di teoria.

Consideriamo la seguente disequazione:

Essendo:

sostituendo avremo:

Applicando una proprietà dei logaritmi:

alla fine la nostra disequazione:

diventa:

Ritornando al sistema iniziale possiamo scrivere:

Applicando le proprietà dei logaritmi possiamo scrivere:

Abbiamo così ottenuto un sistema di equazioni frazionarie. Consideriamo la 1^ Disequazione che è frazionaria e pertanto la condizione di esistenza C.E. impone che il denominatore sia ≠ 0 :

verifichiamo quando numeratore e denominatore risultano > 0 

Riportando i risultati su un grafico avremo:

Per cui considerando che a noi interessa dove la disequazione risulti positiva [N(x)/D(x)>0] questo implica che la nostra prima disequazione del sistema è soddisfatta per:

I valori sono accettabili in quanto la condizione di esistenza impone x ≠ 1/3.

Passiamo ora a risolvere la seconda disequazione del nostro sistema:

verifichiamo quando numeratore e denominatore risultano > 0 

Riportando i risultati su un grafico avremo:

Per cui considerando che a noi interessa dove la disequazione risulti negativa [N(x)/D(x) ≤ 0] questo implica che la nostra seconda  disequazione del sistema è soddisfatta per:

I valori sono accettabili in quanto la condizione di esistenza impone x ≠ 1/3.

Quindi ricapitolando il nostro sistema avrà per soluzioni:

Mettendo i risultati su un grafico avremo:

Il nostro logaritmo iniziale ha per soluzione: