DISEQUAZIONI irrazionali con indice della radice pari
DISEQUAZIONI irrazionali con indice della radice pari pag.1 es.1b
Di seguito riporto una disequazione irrazionale con indice pari (n=2). Anche se questo esercizio è stato assegnato ad un esame universitario di Matematica Generale, per la risoluzione ho preferito effettuare qualche passaggio in più in modo da poter essere ben compreso anche dai lettori che in questo momento frequentano le scuole secondarie di secondo grado.
Dalla teoria sappiamo che se n è pari, la disequazione:
![\sqrt[n]{A(x)} \leq B(x)\;\;\mbox{ con n \geq 2\; intero\; pari}](http://skuolablog.altervista.org/wp-content/uploads/eq_9b1abf9c86eb7a460021eafe93f7c528.png)
è equivalente al seguente sistema:
![\begin{cases} \displaystyle A(x) \geq 0 \\\displaystyle B(x)>0\\\displaystyle A(x)\leq[B(x)]^2\end{cases}](http://skuolablog.altervista.org/wp-content/uploads/eq_230c38ad5722cbeb2e8854a98796a244.png)
Per cui la nostra disequazione irrazionale diventerà:
Risolviamo ora la disequazione x²–11x+28>=0 che risulta essere un trinomio notevole del tipo x²+sx+p i cui due numeri che danno come prodotto +28 e come somma –11 risultano essere –4 e –7 per cui possiamo scrivere che: x²–11x+28=(x-4)(x-7). Ritornando al nostro sistema avremo:
L’equazione associata all’ultima disequazione (x-4)(x-7)=0 si annulla per x1=4 e x2=7 per cui la disequazione associata è soddisfatta per tutti i valori della x esterni all’intervallo delle radici (x ≤ 4 ∧ x ≥ 7).
A questo punto possiamo riportare i dati ottenuti su un grafico:
Pertanto il risultato della nostra disequazione iniziale sarà:
