[Algebra] Scomposizione di particolari trinomi di secondo grado. Trinomi del tipo x²+sx+p

Scomposizione di particolari trinomi di secondo grado. Trinomi del tipo x²+sx+p

ESERCIZIO N.304a

Consideriamo il trinomio t²-13t+30. In considerazione che tale trinomio non risulta essere il quadrato di nessun binomio, per scomporlo verifichiamo che si tratta di un trinomio del tipo x²+sx+p cioè verifichiamo che esistano due numeri x1 e x2 tali che:

x1 + x2 = -13 (somma = coefficiente di x)
x1·x2 = +30 (prodotto = trermine noto)

Le coppie di numeri interi che hanno per somma -13 (o qualsiasi altro numero) sono infinite, mentre quelle che hanno come prodotto +30 (o qualsiasi altro numero diverso da o) sono finite. Conviene perciò partire dal prodotto e poi una volta individuati i due numeri il cui prodotto è uguale a +30 verificare che gli stessi due numeri diano anche come somma -13.

Procediamo con il trovare due coppie di numeri il cui prodotto è uguale a +30. Siccome il prodotto è positivo e la somma è negativa i due numeri dovranno essere entrambi negativi: Come è possibile notare le coppie potrebbero essere:

-5 e -6 che come prodotto danno +30 ma come somma non danno -13 bensì -11;
-2 e -15 che come prodotto danno +30 ma come somma non danno -13 bensì -17;

per cui alla fine è facile verificare che la coppia di numeri che soddisfa entrambe le richieste sono -3 e -10 (infatti il loro prodotto è +30 e la loro somma è -13) quindi:

t²-13t+30 = (t-3)·(t-10)

ESERCIZIO N.304b

Consideriamo il trinomio x²-8x-20. In considerazione che tale trinomio non risulta essere il quadrato di nessun binomio, per scomporlo verifichiamo che si tratta di un trinomio del tipo x²+sx+p cioè verifichiamo che esistano due numeri x1 e x2 tali che:

x1 + x2 = -8 (somma = coefficiente di x)
x1·x2 = -20 (prodotto = trermine noto)

Le coppie di numeri interi che hanno per somma -8 (o qualsiasi altro numero) sono infinite, mentre quelle che hanno come prodotto -20 (o qualsiasi altro numero diverso da o) sono finite. Conviene perciò partire dal prodotto e poi una volta individuati i due numeri il cui prodotto è uguale a -20 verificare che gli stessi due numeri diano anche come somma -8.

Procediamo con il trovare due coppie di numeri il cui prodotto è uguale a -20. Siccome il prodotto è negativo e la somma è anch’essa negativa i due numeri dovranno essere uno negativo e l’altro positivo (in questo modo il prodotto sarà negativo) e inoltre affinchè la somma sia negativa il numero con valore assoluto maggiore dovrà avere segno negativo mentre l’altro sarà positivo. Proviamo a vedere quali potrebbero essere le due coppie di numeri:

-4 e +5 che come prodotto danno -20 ma come somma non danno -8 bensì -1;

per cui alla fine è facile verificare che la coppia di numeri che soddisfa entrambe le richieste sono +2 e –10 (infatti il loro prodotto è -20 e la loro somma è -8) quindi:

x²-8x-20 = (x+2)·(x-10)