Problema risolvibile non solo con Euclide

[su_note]Un triangolo rettangolo ha i cateti lunghi 42 cm e 56 cm. Determinare la misura delle proiezioni dei due cateti sull’ipotenusa.[/su_note]

DATI:
AC=42 cm (cateto minore)
BC=56 cm (cateto maggiore)
INCOGNITE:
AH=? (proiezione di AC sull’ipotenusa AB)
BH=? (proiezione di BC sull’ipotenusa AB)

Allora conoscendo i due cateti cominciamo con il calcolare l’ipotenusa:
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}$

$AB=\sqrt{42^2+56^2}$

$AB=\sqrt{1764+3136}$

$AB=\sqrt{4900}=70 cm$

Ora calcoliamo la proiezione di AC sull’ipotenusa AB applicando il primo teorema di Euclide che recita: “In un qualunque triangolo rettangolo ogni cateto è medio proporzionale tra l’ipotenusa e la proiezione di quel cateto sull’ipotenusa“:

$AB\; :\; AC\; =\; AC\; :\; AH$

$70\; :\; 42\; =\; 42\; :\; AH$

$AH=\frac{42\cdot 42}{70}=25,2 cm$

$HB = AB - AH$

$HB = 70-25,2 = 44,8 cm$

Nel caso in cui non si fossero ancora studiati i Teoremi di Euclide possiamo risolvere il problema in un altro modo.

Conoscendo i due cateti possiamo calcolare l’Area del triangolo rettangolo dalla seguente formula:

$A=\frac{C\cdot c}{2}$

$A=\frac{BC\cdot AC}{2$

$A=\frac{56\cdot 42}{2} = 1176\; cm^2$

Noi sappiamo anche che l’area è uguale al prodotto dell’ipotenusa per l’altezza relativa all’ipotenusa fratto due:
$A=\displaystyle\frac{AB\cdot CH}{2}$
dalla formula precedente calcoliamo l’altezza CH
$CH=\displaystyle\frac{2\cdot A}{AB}$