Esercizi di geometria II media

N.52 Pag.89

In un triangolo rettangolo un cateto è i 7/24 dell’altro e la somma dei due cateti misura 62 cm. Determina il perimetro e l’area del triangolo.
DATI:
AB+AC=62 cm

INCOGNITE:
P=?
A=?

Trattasi di triangolo rettangolo con ipoteusa BC cateto maggiore AB e cateto minore AC. Essendo AC=7/24 di AB significa che abbiamo diviso AB in 24 parti e ne abbiamo prese 7 di esse per cui possiamo scrivere che:
AB = 24 u (unità frazionarie)
AC = 7 u
AB+AC = 24 u + 7 u=31 u  ma noi sappiamo anche che:
AB+AC = 62 cm
Ora essendo uguali i primi membri delle ultime due uguaglianze (AB+AC=AB+AC) vuol dire che saranno uguali anche i secondi membri cioè:
31 u = 62 cm da cui possiamo calcolare il valore in cm di una unità frazionaria:

Sostituendo avremo:
AB=24 u = 24·2 cm= 48 cm
AC=7 u = 7·2 = 14 cm
Ora conoscendo i due cateti con il teorema di Pitagora calcoliamo l’ipotenusa:

P = AB+AC+BC = 48+14+50 = 112 cm

N.129 Pag.96

In un rettangolo le due dimensioni differiscono di 24,5 cm e sono una i 5/12 dell’altra. Calcola la misura della diagonale e il perimetro del rettangolo.
DATI:
AB-BC=24,5 cm

INCOGNITE:
d (BD)=?
P=?

Essendo l’altezza del rettangolo BC=5/12 di AB significa che abbiamo diviso la base AB in 12 parti e ne abbiamo prese 5 di esse per cui possiamo scrivere che:
AB=12 u (unità frazionarie)
BC=5 u
AB – BC = 12 u – 5 u = 7 u  ma noi sappiamo anche che:
AB – BC = 24,5 cm
Ora essendo uguali i primi membri delle ultime due uguaglianze (AB-BC = AB-BC) vuol dire che saranno uguali anche i secondi membri cioè:
7 u = 24,5 cm da cui possiamo calcolare il valore in cm di una unità frazionaria:

AB=12 u = 12·3,5 = 42 cm
BC=5 u = 5·3,5 = 17,5 cm

P = 2·(AB+BC) = 2·(42+17,5) = 2·59,5 = 119 cm

N. 139 Pag.97

Il terreno dello statio Olimpico di Roma ha le dimensioni di 105 m per 68 m. Calcola la misura della sua diagonale.
DATI:
AB=105 m
BC=68 m
INCOGNITE:
d (BD)=?

N.141 Pag.97

Lo schermo di un televisore ha la diagonale di 24 pollici e la base i 4/3 dell’altezza. Calcola l’area che occupa lo schermo in pollici quadrati e in centimetri quadrati (1 in =2,5 cm)

Allora abbiamo un televisore di forma rettangolare (ABCD) con lato maggiore AB, lato minore AD e diagonale BD.

DATI:
BD=24 in

INCOGNITE:
A(in²)=?  (in pollici quadrati)
A(cm²)=? (in centimetri quadrati)

Poniamo AD=x quindi avremo che AB=4/3x; dal teorema di Pitagora possiamo scrivere:

(in pollici quadrati)

Ora essendo un pollice = 2,5 cm avremo
1 in = 2,5 cm  elevando al quadrato ambo i membri avremo:
1 in² = 6,25 cm² (cioè un pollice quadrato = 6,5 cm quadrati) per cui possiamo trasformare i pollici quadrati in cm quadrati

PER COLORO CHE NON HANNO ANCORA FATTO LE EQUAZIONI SEGUIAMO IL SEGUENTE RAGIONAMENTO:

Il nostro televisore è in formato 4/3 e i due numeri 4 e 3 indicano la proporzione tra le dimensioni di base e altezza del rettangolo in cui vengono visualizzate le immagini. Se la base è di 4 centimetri, l’altezza sarà di 3 centimetri. Ovviamente queste dimensioni aumentano se lo schermo è più grande, ma rimangono sempre proporzionali ai valori 4 (per il lato orizzontale) e 3 (per il lato verticale).

Per indicare in modo rapido la dimensione di uno schermo televisivo o di un monitor, si usa fornire la misura della diagonale, espressa in pollici. A partire dalla diagonale è possibile avere una idea della grandezza complessiva dello schermo, grazie alla sua forma rettangolare e alla proporzione fissa tra la base e l’altezza.

POLLICI E CENTIMETRI

La prima cosa da fare è convertire la misura della diagonale da Pollici a Centimetri. Un Pollice (chiamato in inglese inch e indicato con due apicetti, tipo 32“ o 50“) equivale a 2,5 cm.

Misura in cm = Misura in Pollici · 2,5

Il Teorema di Pitagora mette in relazione la diagonale e i cateti di un triangolo rettangolo. Se indichiamo con d la diagonale (ipotenusa) con b la base e con h l’altezza del rettangolo, abbiamo:

Se conosciamo un lato (cateto) e la diagonale, possiamo calcolare l’altro lato con il Teorema di Pitagora. Nel nostro caso non conosciamo nessuno dei due cateti, ma sappiamo che sono proporzionali ai numeri 4 (cateto lungo) e 3 (cateto corto).

Supponiamo di avere un triangolo con b = 4 cm e h = 3 cm. Applichiamo il Teorema di Pitagora e ricaviamo la diagonale d.

Il nostro Triangolo Standard, ha una diagonale di 5 cm (5/2,5= 2 pollici). Possiamo usare questa diagonale, che chiamiamo ds (diagonale standard) per determinare il fattore di scala per qualsiasi diagonale.

Allo stesso modo chiamiamo bs e hs i cateti standard con le misure di b = 4 e h = 3.

Ricaviamo il fattore di scala dividendo la diagonale del nostro schermo, con il valore ds della diagonale standard. Chiamiamo questo fattore di scala Fs. Per conoscere le dimensioni di base e altezza, basta moltiplicare i lati bs e hs per il fattore Fs.

Consideriamo ora il nostro televisore da 24″.

  (diagonale in centimetri)

  (fattore di scala)

Quindi il nostro televisore con diagonale da 24″, ha uno schermo da 48 x 36 cm.

Calcoliamol’area in centimetri quadrati:

In precedenza avevamo visto che 1 in² = 6,25 cm² (cioè un pollice quadrato = 6,5 cm quadrati) per cui possiamo trasformare i centimetri quadrati in pollici quadrati dividendo il valore dei cm² ottenuti per 6,25.

Calcoliamo l’area in pollici quadrati: