Esame 3^ Media – Esame di Matematica 3

VERIFICA FINALE

Problema 1
Un rombo ha una diagonale che è ¾ dell’altra e la loro somma è 98 cm.
Calcola:
a. L’area e il perimetro del rombo.
b. L’area della superficie e il volume del solido ottenuto ruotando di 180° il rombo attorno alla sua diagonale maggiore.
c. il peso del solido sapendo che il ps è 0,5.

Problema 2
Risolvi e verifica le equazioni:
$4\cdot (2x-3)-3\cdot (x-2)+2=4-(x-7)$
$\frac{7\cdot (7-x)}{6}-\frac{17-2x}{3}-\frac{4x-9}{7}+\frac{5-x}{2}=0$

Problema 3
A sei conduttori, che hanno la resistenza rispettivamente di 10, 20, 30, 40, 50 e 60 Ohm, viene applicata una differenza di potenziale di 100 Volt.
a. Calcola le corrispondenti intensità di corrente.
b. In un sistema di assi cartesiano, indica con x l’intensità di corrente e con y i valori della resistenza. Scrivi la legge matematica che esprime y in funzione di x e traccia il relativo grafico.

Problema 4
Su un tavolo vengono posti diversi cubi di stesse dimensioni e materiale, ma di colore diverso: 5 sono bianchi, 3 rossi e 6 verdi. Stabilisci quale probabilità ha un giocatore bendato di scegliere:
a. Un cubo rosso.
b. Un cubo né rosso né verde.
c. un cubo nero

Risoluzione Problema 1

Dividiamo la somma delle due diagonali (d1+d2=98 cm) in parti uguali secondo il loro rapporto frazionario e troviamo così il valore dell’unità frazionaria

98 cm = d1 ( 4 parti ) + d2 ( 3 parti ) = 7 parti uguali

98/7 = 14 cm —> misura di una parte, l’unità frazionaria

d2 = 3 · 14 = 42 cm —> misura della diagonale minore

d1 = 4 · 14 = 56 cm —> misura della diagonale maggiore

Calcoloamo il lato del rombo:

$l=\sqrt{$\frac{d_1}{2}$^2+$\frac{d_2}{2}$^2}$

$l=\sqrt{$\frac{56}{2}$^2+$\frac{42}{2}$^2}=\sqrt{28^2+21^2}=\sqrt{784+441}=\sqrt{1225}=35\;\;\; cm$

a. Calcoliamo l’area e il perimetro del rombo:

$p = l\cdot 4 = 35\cdot 4 = 140\;\;\; cm$

$Area=\frac{d_1\cdot d_2}{2}=\frac{42\cdot 56}{2}=\frac{2352}{2}=1176 \;\;\;cm^2$

Adesso facciamo ruotare il rombo di 180° attorno alla sua diagonale maggiore d1 ottenendo il solido riportato di seguito:

Il solido è formato da due cilindri uguali aventi la base in comune rappresentata da una circonferenza il cui diametro è rappresentato dalla diagonale minore d2 (r=alla metà di d2=HB); l’altezza di ognuno dei due coni è rappresentata dalla metà di d1=CH e l’apotema dal lato l.

b. Calcoliamo l’area della superficie totale e il volume:

La superficie totale del solido sarà data dalla somma dalle superfici laterali dei due coni. Essendo i due coni uguali sarà data da:

$St=Sl1+Sl2=2\cdot Sl1=2\cdot (2\pi \cdot r\cdot l)$

$St=2\cdot (2\pi \cdot 21\cdot 35)=2940\pi \;\;\;cm^2$

Essendo i due coni uguali, il volume del solido sarà dato da due volte il volume di uno dei due coni:

$V=2\cdot \frac{Sb\cdot h}{3}$

la Sb=area del cerchio che ha il raggio r=alla metà di d2=HB=21 cm mentre l’altezza h=alla metà di d1=CH=28 cm; pertanto avremo:

$V=2\cdot \frac{\pi \cdot r^2\cdot h}{3}=2\cdot \frac{\pi \cdot 21^2\cdot 28}{3}=8232\cdot \pi \;\;\; cm^3$

c. calcoliamo il peso del solido sapendo che il ps è 0,5:

Peso = V · ps = 8232 · 0,5 = 4116 g.

Risoluzione Problema 2

Risoluzione equazione 1:

$4\cdot (2x-3)-3\cdot (x-2)+2=4-(x-7)$

$8x-12-3x+6+2=4-x+7$

$8x-3x+x=12-6-2+4+7$

$6x=15\;\;\;\mbox{ da cui }\;\;\;x=\frac{15}{6}=\frac{5}{2}$

Verifica equazione 1:
$4\cdot (2\cdot\frac{5}{2}-3)-3\cdot (\frac{5}{2}-2)+2=4-(\frac{5}{2}-7)$

$20-12-\frac{15}{2}+6+2=4-\frac{5}{2}+7$

$\frac{40-24-15+12+4}{2}=\frac{8-5+14}{2}$

$\frac{17}{2}=\frac{17}{2}$

Risoluzione equazione 2:

$\frac{7\cdot (7-x)}{6}-\frac{17-2x}{3}-\frac{4x-9}{7}+\frac{5-x}{2}=0$

$\frac{49}{6}-\frac{7}{6}x-\frac{17}{3}+\frac{2}{3}x-\frac{4}{7}x+\frac{9}{7}+\frac{5}{2}-\frac{1}{2}x=0$

$-\frac{7}{6}x+\frac{2}{3}x-\frac{4}{7}x-\frac{1}{2}x=-\frac{49}{6}+\frac{17}{3}-\frac{9}{7}-\frac{5}{2}$

$\frac{-49+28-24-21}{42}x=\frac{-343+238-54-105}{42}$

$\frac{66}{42}x=-\frac{264}{42}\;\;\;\mbox{ da cui }\;\;\;x=(-\frac{264}{42})\cdot (-\frac{42}{66})=\frac{264}{66}=4$

Verifica equazione 2:
$\frac{7\cdot (7-4)}{6}-\frac{17-2\cdot 4}{3}-\frac{4\cdot 4-9}{7}+\frac{5-4}{2}=0$

$\frac{7\cdot (7-4)}{6}-\frac{17-2\cdot 4}{3}-\frac{4\cdot 4-9}{7}+\frac{5-4}{2}=0$

$\frac{7\cdot (3)}{6}-\frac{17-8}{3}-\frac{16-9}{7}+\frac{1}{2}=0$

$\frac{21}{6}-\frac{9}{3}-\frac{7}{7}+\frac{1}{2}=0$

$\frac{21}{6}-3-1+\frac{1}{2}=0$

$\frac{21-18-6+3}{6}=0\;\;\;\mbox{da cui}\;\;\;\frac{24-24}{6}=0\;\;\Rightarrow\;\;0=0$

Risoluzione Problema 3

Disegniamo un circuito elettrico composto da un generatore di tensione V, una resistenza R ed in cui passa una intensità di corrente I:

La tensione applicata al circuito V=100 Volt, la resistenza R invece viene di volta in volta variata con sei conduttori di 10, 20, 30, 40, 50 e 60 Ohm.

Dalla formula V=R·I calcoliamo la I=V/R sostituendo alla formula i 6 diversi valori di resistenza R otterremo 6 diversi valori di intensità di corrente I:

$I_1=\frac{V}{R_1}=\frac{100}{10}=10\;\;\;A$

$I_2=\frac{V}{R_2}=\frac{100}{20}=5\;\;\;A$

$I_3=\frac{V}{R_3}=\frac{100}{30}=3,3\;\;\;A$

$I_4=\frac{V}{R_4}=\frac{100}{40}=2,5\;\;\;A$

$I_5=\frac{V}{R_5}=\frac{100}{50}=2\;\;\;A$

$I_6=\frac{V}{R_6}=\frac{100}{60}=1,7\;\;\;A$

b. In un sistema di assi cartesiano, indichiamo con x l’intensità di corrente e con y i valori della resistenza. Scrivamo la legge matematica che esprime y in funzione di x e tracciamo il relativo grafico.

Riportiamo i risultati in una tabella:

x	y
1,7 A	60 Ohm
2 A	50 Ohm
2,5 A	40 Ohm
3,3 A	30 Ohm
5 A	20 Ohm
10 A	10 Ohm

Indicando con x l’intensità di corrente (I) e con y la resistenza (R) considerando contante la tensione (V=k) potremmo scrivere la funzione:

$x=\frac{k}{y}\;\;\;\mbox{da cui:}\;\;\;y=\frac{k}{x}$

riportiamo adesso i valori su un sistema di assi cartesiani:

Dalla figura si evince che la funzione è un ramo di iperbole e che è inversamente proporzionale cioè all’aumentare della resistenza (R), l’intensità di corrente (I) diminuisce.

Risoluzione Problema 4

Dati:
Bianchi: 5 cubi
Gialli: 4 cubi
rossi: 3 cubi
Verdi: 6 cubi
Stabilire che probabilità ha un giocatore bendato di scegliere:

a. Un cubo rosso:
Essendo i cubi rossi = 3 avremo che 3 è il numero dei casi favorevoli mentre essendo i cubi in totale 5+4+3+6=18 avremo che 18 è il numero dei casi possibili per cui la nostra probabilità che si verifichi l’evento: “estrarre un cubo rosso” sarà dato dal numero dei casi favorevoli diviso il numero dei casi possibili e cioè:
$\frac{3}{5+4+3+6}=\frac{3}{18}=\frac{1}{6}=17%$

b. Un cubo né rosso né verde:
Dovendo essere il cubo né rosso né verde significa che esso potrà essere solo bianco o giallo per cui essendo la somma dei cubi bianchi+gialli = 5+4=9 avremo che 9 è il numero dei casi favorevoli mentre essendo i cubi in totale 5+4+3+6=18 avremo che 18 è il numero dei casi possibili per cui la nostra probabilità che si verifichi l’evento: “estrarre un cubo né rosso né verde” sarà dato dal numero dei casi favorevoli diviso il numero dei casi possibili e cioè:
$\frac{5+4}{5+4+3+6}=\frac{9}{18}=\frac{1}{2}=50%$

c. un cubo nero:
nessuna probabilità (non esistono cubi neri) = 0%.

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Esame 3^ Media – Esame di Matematica 4

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