Esame 3^ Media – Esame di Matematica 4

VERIFICA FINALE

Problema 1

Un trapezio rettangolo ha l’area di 246 cm² e le basi rispettivamente di 25 cm e 16 cm. Calcola:

a. La misura del perimetro del trapezio.

b. L’area della superficie totale ed il volume del solido ottenuto dalla rotazione completa del trapezio intorno alla base maggiore.

c. Il peso del solido sapendo che è di ferro (ps=7.5)

Problema 2

Risolvi e verifica le seguenti equazioni:

$2(x-1)+3(x-2)=2(x-2)+2x+6$

$3(2x+1)-\frac{x+2}{4}=\frac{5(x-3)}{2}+\frac{2x+8}{8}$

Problema 3

Un corpo si muove di moto rettilineo uniforme; sapendo che deve percorrere una distanza di 720 m completa la tabella nella quale con x è indicato il tempo (in secondi) e con la y la velocità (in m/s)

Scrivi poi la legge matematica che esprime y in funzione di x, costruisci il grafico relativo a tale funzione; stabilisci infine il tipo di proporzionalità esistente tra le due grandezza. (legge del moto s = v · t)

Problema 4

In un piano cartesiano (u = 1 cm) rappresenta i punti A(2; 4), B(-6; 4), C(-2; 1), uniscili nell’ordine e stabilisci che poligono ottieni. Calcola il perimetro e l’area.

Risoluzione problema 1

$Area= 246\;\;cm^2$

$b_1= 25\;\;cm$

$b_2= 16\;\;cm$

Dalla formula dell’area del trapezio calcoliamo l’altezza:

$Area=\frac{(b_1+b_2)h}{2}\;\;\;\mbox{da cui}\;\;\;h=\frac{2\cdot Area}{b_1+b_2}=\frac{2\cdot 246}{25+16}=\frac{492}{41}=12\;\;cm$

$AH=b_1-b_2=25-16=9\;\; cm$

$AB=\sqrt{h^2+AH^2}=\sqrt{12^2+9^2}=\sqrt{144+81}=\sqrt{225}=15\;\; cm$

a. Calcoliamo la misura del perimetro del trapezio:

$2p=b_1+b_2+h+AB=25+16+12+15=68\;\;cm$

b. Calcoliamo l’area della superficie totale ed il volume del solido ottenuto dalla rotazione completa del trapezio intorno alla base maggiore:

La figura ottenuta per rotazione è formata da un cilindro avente per base una circonferenza di raggio = h e altezza = b2 sormontato da un cono avente per base la stessa circonferenza di raggio = h, altezza = AH e apotema = AB.

La sua superficie totale è data dalla somma della superficie totale del cilindro meno una delle due basi + la superficie totale del cono meno la superficie di base. Sintetizzando la superficie totale della figura ottenuta è data dalle superfici totali delle due figure (cilindro + cono) meno due superfici di base perciò possiamo anche dire che la superficie totale è data dalla superficie laterale del cilindro + la superficie totale del cono.

$C=2\pi r=2\pi 12=24\pi$

$Sl_c_i_l=C\cdot b_2=24\pi \cdot 16=384\pi\;\;cm^2$

$St_c_o_n_o=\frac{C\cdot AB}{2}=\frac{24\pi\cdot 15}{2}=180\pi\;\;cm^2$

$St=Sl_c_i_l+St_c_o_n_o=384\pi+180\pi=564\pi\;\;cm^2$

c. Calcoliamo il peso del solido sapendo che è di ferro (ps=7.5)

Per calcolare il peso dobbiamo trovare il volume del solido che è uguale al volume del cilindro + il volume del cono:

$V_c_i_l=Sb\cdot b_2=\pi \cdot r^2\cdot b_2=\pi\cdot 12^2\cdot 16=2304\pi\;\;\;cm^3$

$V_c_o_n_o=\frac{Sb\cdot AH}{3}=\frac{\pi \cdot r^2\cdot AH}{3}=\frac{\pi\cdot 12^2\cdot 9}{3}=432\pi\;\;\;cm^3$

$V_t=V_c_i_l+V_c_o_n_o=2304\pi+432\pi=2736\pi=8591,04\;\;\;cm^3$

$Peso=V_t\cdot ps=8591,04\cdot 7,5=64432,8 g.\simeq 64,5\;\;\;kg.$

Risoluzione problema 2

Risoluzione Equazione 1

$2(x-1)+3(x-2)=2(x-2)+2x+6$

$2x-2+3x-6=2x-4+2x+6$

$2x+3x-2x-2x=+2+6-4+6$

$x=10$

Verifica Equazione 1

$2(10-1)+3(10-2)=2(10-2)+2(10)+6$

$2\cdot 9+3\cdot 8=2\cdot 8+20+6$

$18+24=16+20+6$

$42=42$

Risoluzione Equazione 2

$3(2x+1)-\frac{x+2}{4}=\frac{5(x-3)}{2}+\frac{2x+8}{8}$
$6x+3-\frac{1}{4}x-\frac{1}{2}=\frac{5}{2}x-\frac{15}{2}+\frac{1}{4}x+1$
$6x-\frac{1}{4}x-\frac{5}{2}x-\frac{1}{4}x=-3-\frac{1}{2}-\frac{15}{2}+1$
$\frac{24x-x-10x-x}{4}=\frac{-6+1-15+2}{2}$

$\frac{12}{4}x=-\frac{18}{2}$

$3x=-9\;\;\;\mbox{da cui}\;\;\;x=-\frac{9}{3}=-3$

Verifica Equazione 2

$3(2x+1)-\frac{x+2}{4}=\frac{5(x-3)}{2}+\frac{2x+8}{8}$
$3(2(-3)+1)-\frac{-3+2}{4}=\frac{5(-3-3)}{2}+\frac{2(-3)+8}{8}$

$3(-6+1)-\frac{-1}{4}=\frac{5(-6)}{2}+\frac{-6+8}{8}$

$3(-5)+\frac{1}{4}=\frac{-30}{2}+\frac{+2}{8}$

$-15+\frac{1}{4}=-15+\frac{1}{4}$

Risoluzione problema 3

x	10	20
y			12	9

dalla legge del moto s = v · t avremo che la velocità v=s/t ed il tempo t=s/v ora considerando lo spazio s costante (k) ed uguale a 720 m e indicando con x il tempo (in secondi) e con la y la velocità (in m/s) possiamo scrivere la formula matematica che esprime x in funzione di y:
$y=\frac{k}{x}$
a questo punto, per completare la tabella, dalla formula precedente possiamo calcolare i due valori di y che mancano sostituendo nella funzione x=10 e x=20 ottenendo:
per x=10 : $y=\frac{720}{10}=72\;\;\;m/sec$
per x=20 : $y=\frac{720}{20}=36\;\;\;m/sec$
invece dalla formula inversa: $x=\frac{k}{y}$ possiamo calcolare i due valori di x che mancano sostituendo nella funzione y=12 e y=9 ottenendo:
per y=12 : $x=\frac{720}{12}=60\;\;\;sec$
per y=9 : $x=\frac{720}{9}=80\;\;\;sec$
ora possiamo completare la tabella:

x	10	20	60	80
y	72	36	12	9

Dalla tabella precedente si evince che all’aumentare della x (velocità) la y (tempo) diminuisce ed il loro prodotto risulta essere costante (x · y = k = 720) pertanto possiamo dire che le due grandezze sono inversamente proporzionali. Questo risultato è ancora più evidente disegnando il grafico della funzione. Infatti si ottiene un ramo di iperbole equilatera che indica che le due grandezze x ed y sono inversamente proporzionali.

Risoluzione problema 4

Rappresentiamo in un piano cartesiano (u = 1 cm) punti A(2; 4), B(-6; 4), C(-2; 1), uniamo nell’ordine i tre punti e stabiliamo che poligono abbiamo ottenuto.

Come si evince dalla figura il poligono ottenuto è un triangolo la cui base AB=8 cm. Notiamo anche la retta passante per il punto x=-2 (perpendicolare all’asse x) risulta essere mediana del segmento AB (segmento CH = 3 cm) in quanto divide lo stesso in due parti uguali (AH = BH = 4 cm ognuno) questo vuol dire che i segmenti AC e BC sono uguali e pertanto il triangolo è isoscele su base AB.

Dal triangolo ACH calcoliamo il segmento AC=BC con il teorema di Pitagora:

$AC=BC=\sqrt{AH^2+CH^2}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$

Calcoliamo il perimetro e l’area del triangolo:

$2p=AB+AC+BC=8+5+5=18\;\;\;cm$

$Area=\frac{AB\cdot CH}{2}=\frac{8\cdot 3}{2}=\frac{24}{2}=12\;\;\;cm^2$

Esame 3^ Media – Esame di Matematica 3

Esame 3^ Media – Esame di Matematica 5

2 Commentsto Esame 3^ Media – Esame di Matematica 4

DDDDD ha detto:

12/06/2022 alle 14:45

E’ UNA BUONA PROVA, UN PO’ DIFFICILE, MA PER IL RESTO, QUALE VERIFICA NON E’ DIFFICILE??
CONSIGLIO DI PROVARLA

Rispondi
- skuolablog ha detto:
  
  13/06/2022 alle 11:10
  
  Grazie per aver consultato il nostro sito.
  Come puoi ben vedere dalla data di inserimento, l’articolo risale a maggio 2012 e sicuramente l’esame era stato assegnato già qualche anno prima, quindi penso che questo esame avrà circa 15 anni.
  Questo era il livello di difficoltà degli esami di quei tempi. Ora non so se sono stati modificati o se gli esercizi assegnati risultano più facili.
  Penso comunque che svolto questo sarai in grado di affrontare la maggior parte dei quesiti.
  
  Un saluto.
  La redazione di SkuolaBlog.
  
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