Esame 3^ Media – Esame di Matematica 2

VERIFICA FINALE

Problema n.1
Un parallelepipedo rettangolo ha le dimensioni lunghe 12 cm, 15 cm e 16 cm.
Calcola:
a) il volume e la superficie del solido
b) l’altezza di un prisma equivalente al parallelepipedo, sapendo che la base del prisma è un triangolo rettangolo i cui cateti sono uno i 5/12 dell’altro e che la loro somma è 34 cm;
c) l’area totale del prisma;
d) il rapporto tra i pesi dei due solidi, supponendo che il parallelepipedo sia di marmo (ps=2,5) e il prisma sia di ferro (ps=7,5)
Di segna i solidi in assonometria

Problema n. 2
Risolvi le seguenti equazioni e verificale:

$\frac{2x-3}{4}-2\cdot\frac{x-3}{6}+\frac{2}{3}x=\frac{x-2}{6}-\frac{1}{12}$

$5+2(x-5)+x=2(x-3)-4$

Problema n. 3
Nell’uomo il carattere “capelli bruni” (B) è dominante e il carattere “capelli biondi” (b) è recessivo.
Stabilisci dopo aver rappresentato ciascun incrocio con un grafo o con una tabella a doppia entrata, le probabilità di nascita, in percentuale, di figli con capelli biondi o bruni nei seguenti casi:
a) un genitore è biondo e l’altro bruno eterozigote
b) un genitore è bruno omozigote e l’altro bruno eterozigote
c) entrambi i genitori sono biondi
d) un genitore è bruno eterozigote e l’altro è biondo
e) entrambi i genitori sono bruni eterozigoti

Risoluzione problema n. 1

a) calcoliamo il volume e la superficie del solido

$V_1=a\cdot b\cdot h=12\cdot 15\cdot 16=2880 cm^3$

$St_1=Sl_1 + 2\cdot Sb_1=2\cdot (a+b)\cdot h + 2\cdot a\cdot b=2\cdot (12\cdot 15)\cdot 16+2\cdot 12 \cdot 15=864+360=1224 cm^2$

b) calcoliamo l’altezza di un prisma equivalente al parallelepipedo, sapendo che la base del prisma è un triangolo rettangolo i cui cateti sono uno i 5/12 dell’altro e che la loro somma è 34 cm;

Dividiamo la somma in parti uguali secondo il loro rapporto frazionario e troviamo così il valore dell’unità frazionaria

34 cm = AC ( 5 parti ) + BC ( 12 parti ) = 17 parti uguali

34/17 = 2 cm —> misura di una parte, l’unità frazionaria

AC = 2 · 5 = 10 cm

BC = 2 · 12 = 24 cm

$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{10^2+24^2}=\sqrt{100+576}=\sqrt{676}=26 cm$

calcoliamo ora l’area del triangolo che è anche la superficie di base del nostro prisma:

$Sb_2=\frac{AC\cdot BC}{2}=\frac{10\cdot 24}{2}=\frac{240}{2}=120 cm^2$

Il nostro prisma ha lo stesso volume del parallelepipedo cioè $V_2 = V_1 = 2880 cm^3$

Dalla formula del volume del prisma calcoliamo l’altezza h:

$V_2=Sb_2\cdot h \mbox{\qquad da cui \qquad} h=\frac{V_2}{Sb_2}=\frac{2280}{120}=19 cm$

c) calcoliamo l’area totale del prisma;

La superficie di base Sb2 = Sb1 = 120 cm², calcoliamo ora la superficie laterale Sl2

$Sl_2=p\cdot h=(10+24+26)\cdot 19=60\cdot 19=1140 cm^2$

$St_2=Sl_2+2\cdot Sb_2=1140+2\cdot 120=1140+240=1380 cm^2$

d) calcoliamo il rapporto tra i pesi dei due solidi, supponendo che il parallelepipedo sia di marmo (ps=2,5) e il prisma sia di ferro (ps=7,5)

peso parallelepipedo: $V_1\cdot \mbox{peso\;sp.}=2880\cdot 2,5=7200 g. = 7,2 kg.$

peso prisma: $V_2(=V_1)\cdot \mbox{peso\;sp.}=2880\cdot 7,5=21600 g. = 21,6 kg.$

$\frac{\mbox peso\; parallelepipedo}{\mbox peso\; prisma}=\frac{7200 g.}{21600 g.}=\frac{1}{3}$

Risoluzione problema n. 2

Esercizio 1

$\frac{2x-3}{4}-2\cdot\frac{x-3}{6}+\frac{2}{3}x=\frac{x-2}{6}-\frac{1}{12}$

$\frac{1}{2}x-\frac{3}{4}-\frac{1}{3}x+1+\frac{2}{3}x=\frac{1}{6}x-\frac{1}{3}-\frac{1}{12}$

$\frac{1}{2}x-\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}x-\frac{1}{6}x=\frac{3}{4}-1-\frac{1}{3}-\frac{1}{12}$

$\frac{3x-2x+4x-x}{6}=\frac{9-12-4-1}{12}$

$\frac{4}{6}x=-\frac{8}{12}\mbox{\;\;da\;\;cui\;\;}\frac{2}{3}x=-\frac{2}{3}$

$x=-\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{2}=-1$

VERIFICA: per x= -1

$\frac{-2-3}{4}-2\cdot\frac{-1-3}{6}-\frac{2}{3}=\frac{-1-3}{6}-\frac{1}{12}$

$-\frac{5}{4}+\frac{4}{3}-\frac{2}{3}=-\frac{3}{6}-\frac{1}{12}$

$-\frac{5}{4}+\frac{2}{3}=-\frac{1}{2}-\frac{1}{12}$

$\frac{-15+8}{12}=-\frac{-6-1}{1}\mbox{\;\;da\;\;cui\;\;}-\frac{7}{12}=-\frac{7}{12}$

Esercizio 2

$5+2(x-5)+x=2(x-3)-4$

$5+2x-10+x=2x-6-4$

$2x+x-2x=-5+10-6-4$

$x=-5$

VERIFICA: per x= -5

$5+2(-5-5)+(-5)=2(-5-3)-4$

$5+2(-10)+(-5)=2(-8)-4$

$5-20-5=-16-4$

$-20=-20$

Risoluzione problema n. 3

B = carattere dominante capelli bruni
b = carattere recessivo capelli biondi
BB = omozigote dominante – capelli bruni
Bb = eterozigote – capelli bruni
bb = omozigote recessivo – capelli biondi

a) un genitore è biondo e l’altro bruno eterozigote

	b	b
B	Bb	Bb
b	bb	bb

bb x Bb dall’incrocio avremo o Bb oppure bb pertanto:
1/2 = 50% dei figli con i capelli biondi (bb) e 1/2 = 50% con i capelli bruni eterozigoti (Bb)

b) un genitore è bruno omozigote e l’altro bruno eterozigote

	B	B
B	BB	BB
b	Bb	Bb

BB x Bb dall’incrocio avremo BB oppure Bb pertanto:
1/2 = 50% dei figli con i capelli bruni omozigoti dominanti (BB) e 1/2 = 50% con i capelli bruni eterozigoti (Bb)

c) entrambi i genitori sono biondi

	b	b
b	bb	bb
b	bb	bb

bb x bb dall’incrocio possiamo avere solo bb = 100% capelli biondi omozigoti recessivi

d) un genitore è bruno eterozigote e l’altro è biondo

	b	b
B	Bb	Bb
b	bb	bb

Bb x bb dall’incrocio avremo Bb oppure bb pertanto:
1/2 = 50% dei figli con i capelli bruni eterozigoti (Bb) e 1/2 = 50% con i capelli biondi omozigoti recessivi (bb)

e) entrambi i genitori sono bruni eterozigoti

	B	b
B	BB	Bb
b	bB	bb

Bb x Bb dall’incrocio avremo BB, Bb, bB, bb pertanto:
1/4 = 25% omozigote recessivo (bb) capelli biondi e 3/4 = 75% capelli bruni, di questi 1/4 = 25% omozigote dominante (BB) e 2/4 = 50% eterozigote (Bb e bB).

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