Esame 3^ Media – Esame di Matematica 1

VERIFICA FINALE

Problema n.1
Un cubo do vetro $ps=2,5 \frac{g}{cm^3}$ pesa 20 g.
a) calcola lo spigolo e l’area totale del cubo
b) sovrapponendo 4 di questi cubi, in modo che le facce coincidano perfettamente, si ottiene un nuovo solido. Di che solido si tratta?
c) Disegnalo in assonometria cavaliera ed in scala 1:1
d) calcolarne il volume e l’area della superficie totale
e) descriverne lo sviluppo della superficie laterale
f) quale sarà l’altezza di una piramide quadrangolare regolare cha abbia la stessa base del solido ora ottenuto e che sia ad esso equivalente? Risolvi seguindo il metodo che ti sembra più opportuno

Problema n. 2
Rappresentare in un piano cartesiano i seguenti punti:
A(+2; -4), B(+2; -1), C(-2; +2), D(-2; -4)
a) descrivi il quadrilatero ottenuto congiungendo nell’ordine i quattro punti dati
b) calcolarne il perimetro e l’area
c) verificare che la retta r di equazione x=2 passi per i punti A e B e disegna il quadrilatero corrispondente a quello dato nella simmetria assiale di asse r.

Problema n. 3
Il numero di spettatori in un cinema, in una settimana, è stato il seguente:
lunedì=200, martedì=600, mercoledì=400, giovedì=600, venerdì=300, sabato=800, domenica=900
a) riporta i dati in una tabella multipla, in cui venga indicata per ciascuno di essi la frequenza relativa
b) indica la moda e la media aritmetica
c) rappresenta i dati mediante il grafico che ritieni più adatto

Problema n. 4
Accertati, risolvendole, se le due seguenti equazioni risultino equivalenti, quindi esegui la verifica:

$12x-2(5x+4)-3(2x-1)=2[x-2(2x+1)]$

$\frac{11x-8}{15}+\frac{3}{5}+\frac{2\cdot(x+2)}{6}-\frac{1}{6}x=\frac{x+2}{3}+\frac{7}{10}x$

Risoluzione problema n. 1

Consideriamo allora il cubo di vetro corrispondente al disegno sotto riportato:

Calcoliamo il volume del cubo:

$V_1=\frac{peso}{peso spec.}=\frac{20 g.}{2,5\frac{g.}{cm^3}}=\frac{20}{2,5}= 8 cm^3$

a) Calcoliamo lo spigolo e l’area totale del cubo

dal volume calcoliamo il lato (spigolo) del cubo:

$l=\sqrt[3]{V_1}=\sqrt[3]8=2 cm$

calcoliamo ora la superficie totale del cubo:

$S_t={6}\cdot{l^2}=6\cdot{2^2}=6\cdot4=24 cm^2$

b) sovrapponendo 4 di questi cubi, in modo che le facce coincidano perfettamente, si ottiene un nuovo solidi. Di che solido si tratta?

Di un parallelepipedo a base quadrangolare.

c) disegniamo il solido ottenuto in assonometria cavaliera con scala 1:1 che sarà un parallelepipedo rettangolo con il lato di base l = 2 cm e l’altezza h = 2·4=8 cm:

d) calcolarne il volume e l’area della superficie totale

$V_2=S_b\cdot h=l^2\cdot h=2^2\cdot 8=4\cdot 8=32 cm^3$

$Sl_2=p \cdot h=4\cdot l\cdot h=4\cdot 2 \cdot 8=64 cm^2$

$Sb_2=l^2=2^2=4cm^2$

$St_2=Sl_2+2\cdot Sb_2=64+2\cdot 4=64+8=72 cm^2$

e) descriverne lo sviluppo della superficie laterale

Lo sviluppo della superficie laterale risulta essere un quadrato avente il lato = 8 cm (base = altezza = 2×4 = 8 cm)

f) quale sarà l’altezza di una piramide quadrangolare regolare cha abbia la stessa base del solido ora ottenuto e che sia ad esso equivalente?

Per rispondere a questa domanda sappiamo che la piramide ha la stessa base del solido cioè un quadrato avente il lato l=2 cm la cui Sb=4 cm² e lo stesso volume del parallelepipedo cioè 32 cm³

Dalla formula del volume della piramide: $V=\frac{Sb\cdot h}{3}$ calcoliamo l’altezza $h=\frac{3\cdot V}{Sb}$ per cui avremo:

$h=\frac{3\cdot 32 cm^3}{4 cm^2}=\frac{96 cm^3}{4 cm^2}=24 cm$

Risoluzione problema n. 2

Riportiamo su un sistema di assi cartesiani xy i 4 punti A(+2; -4), B(+2; -1), C(-2; +2), D(-2; -4)

a) descrivi il quadrilatero ottenuto congiungendo nell’ordine i quattro punti dati

Il quadrilatero ottenuto è un trapezio rettangolo con Base Maggiore B = CD, Base Minore b = AB ed altezza h=AD

b) calcolarne il perimetro e l’area

per prima cosa calcoliamo la lunghezza dei 4 segmenti:

$AB=\sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2}=\sqrt{(2-2)^2+(4-1)^2}=\sqrt{0+3^2}=\sqrt{3^2}=3$

$BC=\sqrt{(x_B-x_C)^2+(y_B-y_C)^}=\sqrt{[2-(-2)]^2+(-1-2)^2}=\sqrt{(2+2)^2+(-3)^2}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5$

$CD=\sqrt{(x_C-x_D)^2+(y_C-y_D)^}=\sqrt{[(-2)-(-2)]^2+[2-(-4)]^2}=\sqrt{0+6^2}=\sqrt{6^2}=6$

$AD=\sqrt{(x_A-x_D)^2+(y_A-y_D)^}=\sqrt{[(-2)-(+2)]^2+[(-4)-(-4)]^2}=\sqrt{(-2-2)^2+(-4+4)^2}=\sqrt{(-4)^2+0}=\sqrt{16}=4$

p = AB + BC + CD + AD = 3 + 5 + 6 + 4 = 18

$Area=\frac{B+b}{2}\cdot h=\frac{6+3}{2}\cdot 4=18$

c) verificare che la retta r di equazione x=2 passi per i punti A e B e disegna il quadrilatero corrispondente a quello dato nella simmetria assiale di asse r.

si sostituiscono le coordinate dei punti A e B nell’equazione della retta x=2 pertanto sostituendo solo la x avremo in tutti e due i casi che 2=2 pertanto l’uguaglianza sussiste e pertanto sia il punto A sia B appartengono alla retta r di equazione x=2. Il quadrilatero rispetto all’asse di simmetria r è riportato nella figura (ABFE) con F(+6; +2) ed E(+6; -4).

Risoluzione problema n. 3

Per prima cosa

a) riportiamo i dati in una tabella multipla, in cui indichiamo per ciascuno di essi la frequenza relativa

N. spettatori	Frequenza	Frequenza relativa
200	1	1/7 = 14,3%
300	1	1/7 = 14,3%
400	1	1/7 = 14,3%
600	2	2/7 = 28,5
800	1	1/7 = 14,3%
900	1	1/7 = 14,3%
Totale:	7	100%