Quadrilatero inscritto in una circonferenza. Calcolare A(x)

Es.331 pag.893

[su_note note_color=”#faff66″ text_color=”#1416bc”]Sia ABCD un quadrilatero inscritto in una circonferenza di raggio r con AB e BC corde consecutive di lunghezza uguale al raggio. Posto CAD=x calcola A(x) (l’area in funzione di x) del quadrilatero e determina poi per quale valore di x si ha A(x)=(2√3+3)r^2/4.[/su_note]

Considero il triangolo BOC che risulta essere equilatero: tutti i lati sono uguali al raggio per cui tutti gli angoli sino di 60°. Lo stesso ragionamento è valido per il triangolo BOA che è equilatero con lati uguali al raggio e tutti gli angoli di 60°.
Per quanto detto sopra avremo che:
$\widehat{B}=C\widehat{B}O+A\widehat{B}O=60^\circ+60^\circ=120^\circ$

Calcoliamo ora l’area del triangolo ABC (prodotto di due lati per il seno dell’angolo tra essi compreso diviso due)
$Area_{(ABC)}=\frac{1}{2}AB\cdot BC\cdot sen120^\circ$

$Area_{(ABC)}=\frac{1}{2}r\cdot r\cdot \frac{\sqrt3}{2}$

$Area_{(ABC)}=\frac{\sqrt3}{4}r^2$

Considero il triangolo ACD e sapendo che
$\widehat{B}+\widehat{D}=180^\circ\;\Rightarrow \;\widehat{D}=180^\circ-\widehat{B}=180^\circ-120^\circ=60^\circ$

Sappiamo inoltre che l’angolo CAD=x per cui applicando il teorema dei seni avremo:
$\frac{AC}{sen\widehat{D}}=\frac{CD}{senx}$

$CD=\frac{AC\cdot senx}{sen60^\circ}$

$CD=\frac{r\sqrt3\cdot senx}{\frac{\sqrt3}{2}}$

$CD=r\sqrt3\cdot senx\cdot \frac{2}{\sqrt3}=2r\cdot senx$

$A\widehat{C}D=180^\circ-60^\circ-x=120^\circ-x$

$\frac{AC}{sen\widehat{D}}=\frac{AD}{sen(120^\circ-x)}$

$AD=\frac{AC\cdot sen(120^\circ-x)}{sen60^\circ}$

Sapendo che sen(α–β)=senα·cosβ–cosα·senβ avremo
$AD=\frac{r\sqrt3\cdot \left(\frac{\sqrt3}{3}cosx+\frac{1}{2}senx \right )}{\frac{\sqrt3}{2}}$

$AD=\frac{r\sqrt3\cdot \left(\frac{\sqrt3}{3}cosx+\frac{1}{2}senx \right )}\;\cdot\; \frac{2}{\sqrt3}$

$AD=r\sqrt3\cdot cosx+r\cdot senx$

Calcoliamo ora l’area del triangolo ACD (prodotto di due lati per il seno dell’angolo tra essi compreso diviso due)
$Area_{(ACD)}=\frac{1}{2}AD\cdot CD\cdot sen60^\circ$

$Area_{(ACD)}=\frac{1}{2}(r\sqrt3\cdot cosx+r\cdot senx)\cdot (2r\cdot senx)\cdot\frac{\sqrt3}{2}$

$Area_{(ACD)}=\frac{\sqrt3}{4}(2r^2\sqrt3\cdot senx\cdot cosx+2r^2\cdot sen^2x)$

$Area_{(ACD)}=\frac{3}{2}r^2\cdot senx\cdot cosx+\frac{\sqrt3}{2}r^2\cdot sen^2x$

Calcoliamo ora l’area del quadrilatero inscritto
$Area_{(ABCD)}=Area_{(ABC)}+Area_{(ACD)}$

$Area_{(ABCD)}=\frac{\sqrt3}{4}r^2+\frac{3}{2}r^2\cdot senx\cdot cosx+\frac{\sqrt3}{2}r^2\cdot sen^2x$

Poniamo adesso l’area del quadrilatero inscrotto appena trovata uguale all’area richiesta dal problema
$\frac{\sqrt3}{4}r^2+\frac{3}{2}r^2\cdot senx\cdot cosx+\frac{\sqrt3}{2}r^2\cdot sen^2x=\frac{2\sqrt3+3}{4}r^2$