Triangolo inscritto semicirconferenza. Calcolare rapporto AT/TD

Es.333 pag.893

[su_note note_color=”#faff66″ text_color=”#1416bc”]È data una semicirconferenza di diametro AB=2r. Inscrivi in essa il triangolo ABC e traccia la bisettrice dell’angolo CAB che interseca la circonferenza in D e il lato CB in T. Indicato con 2x l’angolo CAB, studia, al variare di x il rapporto y=AT/TD, rappresenta la funzione ottenuta e calcola per quale valore di x tale rapporto è 1.[/su_note]

Per il teorema della corda possiamo scrivere che:

per cui possiamo scrivere:

Considero ora il triangolo ACT anch’esso rettangolo e calcolo AC
da cui

  sostituiamo AC trovato in precedenza ottenendo:

Considero ora il triangolo ADB rettangolo in D per cui, sempre per il teorema della corda, posso scrivere:
  ma

  da cui otteniamo che:

  per cui sostituendo avremo:

Calcoliamo ora

Scriviamo ora la funzione y=AT/TD

dalle formule di duplicazione abbiamo che

  per cui sostituendo nella precedente avremo:

sostutuiamo a   ottenendo:

per y=1 avremo

dei due risultati dobbiamo eliminare quello negativo in quanto l’angolo il cui seno è negativo è compreso nel III e IV quadrante cioè tra 270° e 360°, impossibile dovendo essere la somma degli angoli interni del triangolo di 180°.