Calcolo combinatorio esercizi

Di seguito una serie di esercizi sul calcolo combinatorio. E’ possibile consultare la teoria al seguente link.

LE DISPOSIZIONI SEMPLICI

Es.22 pag.23 alfa

Quanti numeri pari di tre cifre diverse si possono scrivere utilizzando le cifre dell’insieme A={1, 2, 3, 5, 7}?
Dobbiamo scrivere numeri pari di tre cifre diverse, questo significa che le cifre all’interno di ogni numero NON devono ripetersi. Essendo dell’insieme dati pari solo la cifra 2 vuol dire che tutti i numeri dovranno terminare con 2 e non potendo il 2 ripetersi all’interno del numero vuol dire che il 2 potrà occupare solo l’ultima posizione (affinchè il numero trovato sia pari e la cifra 2 non si ripeta).
Calcoliamo allora con le rimanenti 4 cifre dell’insieme dato quanti numeri diversi di due cifre possiamo ottenere. Il numero ottenuto coincide con la richiesta del problema, infatti al risultato ottenuto basterà aggiungere alla fine il numero 2 ed otterremo tutti i numeri pari formati da tre cifre diverse, qundi:
$D_{4,2}=4\cdot 3=12$

Es.24 pag.23 alfa

Un allenatore di calcio ha a disposizione quattro attaccanti, sei centrocampisti e cinque difensori. Avendo scelto il modulo 4-3-3 (che prevede quattro difensori, tre centrocampisti e tre attaccanti), calcola quante formazioni potrebbe schierare, sapendo che ha a disposizione anche tre portieri.
Difensori: $D_{5,4}=5\cdot 4\cdot 3\cdot 2=120$
Controcampisti: $D_{6,3}=6\cdot 5\cdot 4=120$
Attaccanti: $D_{4,3}=4\cdot 3\cdot 2=24$
Piortieri: $D_{3,1}=3$

Le possibili formazioni saranno:
$D_{5,4}\cdot D_{6,3}\cdot D_{4,3}\cdot D_{3,1}=$
$120\cdot 120\cdot 24\cdot 3=1036800$
Es.32 pag.24 alfa

Risolvi la seguente equazione:
$D_{x,3}-D_{x-2,3}=384$
Determiniamo la condizione per l’incognita. Deve essere $x\in \mathbb{N}$ e:
$\begin{cases} x\ge 3 \\ x-2\ge 3\end{cases}$
$\begin{cases} x\ge 3 \\ x\ge 5\end{cases}$
$D{x,3}=x(x-1)(x-2)=$
$=(x^2-x)(x-2)=$
$=x^3-2x^2-x^2+2x=$
$=x^3-3x^2+2x=$
$D{x-2,3}=(x-2)(x-2-1)(x-2-2)=$
$=(x-2)(x-3)(x-4)=$
$=(x^2-3x-2x+6)(x-4)=$
$=(x^2-5x+6)(x-4)=$
$=(x^3-4x^2-5x^2+20x+6x-24=$
$=x^3-9x^2+26x-24=$
$D_{x,3}-D_{x-2,3}=384$
$x^3-3x^2+2x-(x^3-9x^2+26x-24)=384$
$x^3-3x^2+2x-x^3+9x^2-26x+24=384$
$6x^2-24x-360=0$
Divido tutto per 6
$x^2-4x-60=0$
Calcolo Delta quarti
$\frac{\Delta}{4}=$\frac{b}{2}$^2-ac$
$\frac{\Delta}{4}=2^2+60=64$
Calcoliamo ora le radici che annullano l’equazione:
$x_{1/2}=\frac{-\frac{b}{2}\pm\sqrt{\frac{\Delta}{4}}}{a}$
$x_{1/2}=\frac{2\pm\sqrt64}{1}$
$x_{1/2}=2\pm 8$
$x_{1}=2+8=10$
$x_{2}=2-8=-6$
Vediamo che -6 non è accettabile in quanto nelle condizioni per l’incognita x deve essere la x = 5 per cui è accettabile solo x = 10.

LE DISPOSIZIONI CON RIPETIZIONE

Es.38 pag.25 alfa

Calcola le seguenti espressioni
$D'_{6,2}=6^2=36$
$D'_{2,5}+D'_{4,3}=2^5+4^3=$
$=32+64=96$

Es.41 pag.25 alfa

Quanti numeri di tre cifre, anche ripetute, si possono formare con gli elementi dell’insieme A = {3, 5, 6, 7, 8}?
$D'_{5,3}=5^3=125$

Es.42 pag.25 alfa

Quanti numeri di tre cifre, anche ripetute, si possono formare con gli elementi dell’insieme A = {0, 3, 5, 6, 7, 8}?
$D'_{6,3}=6^3=216$
a questi però bisogna togliere tutti i numeri a tre cifre che iniziano con lo zero perchè questi non sono a tre cifre ma a due cifre.
Calcoliamo allora dall’insieme dato quanti numeri a due cifre (con ripetizioni) possiamo ottenere che corrisponde anche al numerico dei numeri a tre cifre che iniziano per zero (infatti aggiungendo davanti i numeri ottenuti la cifra zero otteniamo tutti i numeri a tre cifre che iniziano per zero).
Sottraendo questo a 216 otteniamo la soluzione cercata:
$D'_{6,2}=6^2=36$
216-36=180

Es.45 pag.25 alfa

Quanti codici a cinque cifre si possono formare con le cifre decimali da 1 a 9?
$D'_{9,5}=9^5=59049$

Es.46 pag.25 alfa

Trova quanti codici a cinque cifre si possono formare con le cifre decimali da 0 a 9 sapendo che la prima cifra non può essere 0.

Calcolo prima di tutto tutti i codici a cinque cifre che possiamo ottenere, compresi quelli che iniziano con zero:
$D'_{10,5}=10^5=100.000$

Calcolo ora tutti i codici a quattro cifre che corrispondono anche a quelli a cinque cifre che hanno le ultime quattro cifre uguali a quelle trovate e, aggiungendo davanti ad essi la cifra zero, iniziano con lo zero:
$D'_{10,4}=10^4=10.000$

Facendo la differenza ottengo il risultato cercato:
$D'_{10,5}-D'_{10,4}=10^5-10^4=$
$=100.000-10.000=90.000$

LE PERMUTAZIONI SEMPLICI

Es.57 pag.26 alfa

Calcola le seguenti espressioni.
$P_5=5!=5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=120$
$P_3=3!=3\cdot 2\cdot 1=6$

$\frac{P_6-P_5}{5\cdot P_4}=$
$\frac{6!-5!}{5\cdot 4!}=$
$\frac{6!-5!}{5!}=$
$\frac{6!}{5!}-\frac{5!}{5!}=$
$6-1=5$

Es.60 pag.26 alfa

In una gara partecipano otto concorrenti. In quanti modi può presentarsi la classifica finale?
$P_8=8!=8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=40320$

Es.61 pag.26 alfa

In quanti modi si possono distribuire nove premi a nove bambini?
$P_9=9!=9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=362880$

Es.62 pag.26 alfa

Quanti numeri di dieci cifre diverse si possono scrivere con le dieci cifre decimali?
Calcoliamo quanti numeri di 10 cifre diverse possiamo scrivere con le dieci cifre da 0 a 9. Attenzione in questi sono compresi anche quelli che iniziano con 0 che tecnicamente hanno 9 cifre e non 10.
$P_{10}=10!=10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=3628800$
Calcoliamo ora quanti numeri di 9 cifre e possibile scrivere (che rappresentano gli stessi numeri a 10 cifre che iniziano con lo zero):
$P_9=9!=9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=362880$
Sottraendo il risultato ottenuto a quello precedente otteniamo il risultato al problema:
$P_{10}-P_9=10!-9!=3628800-362880=3265920$

Es.66 pag.27 alfa

A un congresso nove persone devono sedere intorno a un tavolo rotondo. Calcola in quanti modi le persone possono prendere posto. Se le stesse persone attendono in fila davanti all’ingresso della sala, in quanti modi si possono disporre?
In fila
$P_9=9!=362880$
Intorno al tavolo
$\frac{P_9}{9}=\frac{9!}{9}=8!=40320$

Le identità e le equazioni con le permutazioni semplici

Es.68 pag.27 alfa

Verifica le seguenti identità.

$D_{n+1,3}=P_{n+1}:P_{n+2}$

$D_{n+1,3}=(n+1)(n+1-1)(n+1-2)=$

$=(n+1)(n)(n-1)=$

$=(n^2+1)n)=$

$=n^3-n$

Vediamo ora quanto vale:

$\frac{P_{n+1}}{P_{n-2}}=$

$\frac{(n+1)!}{(n-2)!}=$

$\frac{(n+1)(n+1-1)(n+1-2)(n+1-3)\;\mbox{....}\;\cdot 2\cdot 1}{(n-2)(n-2-1)(n-2-2)(n-2-3)\;\mbox{....}\;\cdot 2\cdot 1}=$

$\frac{(n+1)n(n-1)(n-2)\;\mbox{....}\;\cdot 2\cdot 1}{(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)\;\mbox{....}\;\cdot 2\cdot 1}=$

$(n+1)n(n-1)=$

$=(n^2+1)n=$

$=n^3-n$

che è uguale al risultato di $D_{n+1,3}$

LE PERMUTAZIONI CON RIPETIZIONE

Es.78 pag.28 alfa

Calcola quanti anagrammi, anche senza significato, si possono fare con le parole: MENTE, STESSA e TRATTATIVA.

Con la parola MENTE avremo le permutazioni di 5 oggetti con 2 oggetti ripetuti:

$P^2_{5}=\frac{5!}{2!}=$

$\frac{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{2\cdot 1}=60$

Con la parola STESSA avremo le permutazioni di 6 oggetti con 3 oggetti ripetuti:

$P^3_{6}=\frac{6!}{3!}=$

$\frac{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{3\cdot 2\cdot 1}=120$

Con la parola TRATTATIVA avremo le permutazioni di 10 oggetti con 4 e 3 oggetti ripetuti:

$P^{4,\;3}_{10}=\frac{10!}{4!\cdot 3!}=25200$

Es.80 pag.28 alfa

In uno spettacolo, sul palcoscenico si devono disporre in fila sei ballerine e quattro ballerini. In quanti modi si possono disporre gli artisti, dovendo solo distinguere le posizioni di maschi e femmine?

$P^{6,\;4}_{10}=\frac{10!}{6!\cdot 4!}=210$

Quadrilatero inscritto in una circonferenza. Calcolare A(x)

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