Trapezio scaleno noti basi e due angoli. Calcolare i lati obliqui

Es.311 pag.890

In un trapezio scaleno ABCD le basi misurano: AB= 5√3+21 e CD=9. Sapendo che l’angolo in B è 60° e che cos(D)=-5/13 calcola la lunghezza dei lati obliqui.

$cos A\widehat{D}C=-\frac{5}{13}=cos(90+A\widehat{D}H)$
poichè dalle formule degli angoli associati $cos(90+\alpha)=-sen\alpha$ avremo:

$cos(90+A\widehat{D}H)=-senA\widehat{D}H$

$-\frac{5}{13}=-senA\widehat{D}H$

$senA\widehat{D}H=\frac{5}{13}$

$AH=AD\cdot senA\widehat{D}H=AD\cdot \frac{5}{13}$

$AH=AD\cdot cosH\widehat{A}D$

dalle ultime due uguaglianze, essendo uguali i primi membri (AH=AH) lo saranno anche i secondi membri per cui avremo:
$AD\cdot \frac{5}{13}=AD \cdot cosH\widehat{A}D$ divido tutto per AD ottenendo:

$cosH\widehat{A}D=\frac{5}{13}$

Considero ora il triangolo rettangolo BKC di 30°/60°/90° in cui poniamo l’ipotenusa CB=x e calcoliamo i due cateti in funzione di x
$KB=\frac{CB}{2}=\frac{x}{2}$ (il cateto opposto a 30° e metà dell’ipotenusa)

$CK=\frac{CB}{2}\sqrt3=\frac{x}{2}\sqrt3$ (il cateto opposto a 60° e metà dell’ipotenusa per radical 3)
CK=DH=h (altezza del trapezio)

Dalla formula fondamentale della goniometria possiamo calcolare:
$senH\widehat{A}D=\sqrt{1-cos^2H\widehat{A}D}$

$\sqrt{1-\left(\frac{5}{13} \right )^2}=\sqrt{1-\left(\frac{25}{169} \right )}$

$\sqrt{\frac{169-25}{169}}=\sqrt{\frac{144}{169}}=\frac{12}{13}$

Considero ora il triangolo rettangolo AHD e applico il teorema dei seni:
$\frac{AH}{senA\widehat{D}H}=\frac{DH}{senH\widehat{A}D}$

$\frac{AH}{\frac{5}{13}}=\frac{DH}{\frac{12}{13}}$ da cui calcoliamo AH

$AH=\frac{\sqrt3}{2}x\cdot \frac{5}{13}\cdot \frac{13}{12}=\frac{5\sqrt3}{24}x$

$AB=AH+HK+KB$ possiamo sostituire HK=DC=9 per cui avremo:

$AB=AH+DC+KB$ sostituiamo

$5\sqrt3+21=\frac{5\sqrt3}{24}x+9+\frac{x}{2}$

$\frac{5\sqrt3}{24}x+\frac{x}{2}=5\sqrt3+21-9$

$\frac{5\sqrt3x+12x}{24}=5\sqrt3+21-9$

$\frac{5\sqrt3x+12x}{24}=5\sqrt3+12$ moltiplico ambo i membri per 24

$5\sqrt3x+12x=120\sqrt3+288$

$x(5\sqrt3+12)=24(5\sqrt3+12)$ divido ambo i membri per $5\sqrt3+12$

$x=24$ per cui $CB=24$

Considero ora il triangolo rettangolo AHD per cui conoscendo la x=24 calcoliamo:
$AH=\frac{5\sqrt3}{24}x=\frac{5\sqrt3}{24}24=5\sqrt3$

$DH=CK=\frac{\sqrt3}{2}x=\frac{\sqrt3}{2}24=12\sqrt3$

Applichiamo il teorema di Pitagora
$AD=\sqrt{DH^2+AH^2}=\sqrt{(12\sqrt3)^2+(5\sqrt3)^2}$

$\sqrt{432+75}=\sqrt{507}=$

$\sqrt{13^2\cdot 3}=13\sqrt{3}$

skuolablog Aprile 2, 2016 Esercizi di trigonometria, Trapezio scaleno, Trigonometria Trigonometria No Comments »

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