Trapezio rettangolo noti AB e BD bisettrice di ABC. Calcolare angoli perimetro area

Es.291 pag.889

La base maggiore di un trapezio rettangolo ABCD è AB = 48 cm, la diagonale maggiore BD = 32√3 ed è la bisettrice dell’angolo ABC. Determina gli angoli, il perimetro e l’area del trapezio.

Applico il teorema dei seni al triangolo ADB
$\frac{BD}{sen90^\circ}=\frac{AB}{senA\widehat{D}B}$ da cui ricavo

$senA\widehat{D}B=\frac{AB\cdot sen90^\circ}{BD}=$

$\frac{48\cdot 1}{32\sqrt3}=\frac{3}{2\sqrt3}\cdot \frac{\sqrt3}{\sqrt3}=$

$\frac{3\sqrt3}{2\cdot 3}=\frac{\sqrt3}{2}$

Ora possiamo calcolare l’angolo:
$A\widehat{D}B=arcsen\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)=60^\circ$

Dal risultato precedente, essendo l’angolo $B\widehat{A}D=90^\circ$ possiamo calcolare l’angolo $A\widehat{B}D=180^\circ-90^\circ-60^\circ=30^\circ$ per cui il triangolo ADB risulta essere rettangolo di 30°/60°/90°.

Essendo inoltre BD la bisettrice dell’angolo $\widehat{B}$ avremo che $\widehat{B}=2\cdot A\widehat{B}D=2\cdot 30^\circ=60^\circ$

Nel trapezio ABCD gli angoli $\widehat{B}$ e $\widehat{C}$ sono coniugati interni (rette parallele AB e CD tagliate dalla trasversale BC ) e la loro somma è 180° per cui
$\widehat{B}+ \widehat{C}=180^\circ$ da cui

$\widehat{C}=180^\circ-\widehat{B}=180^\circ-60^\circ=120^\circ$

Considero ora il triangolo ABD che abbiamo visto essere rettangolo in $\widehat{A}$ con gli angoli di 30°/60°/90°.

Dalla considerazione precedente possiamo calcolare AD che risulta essere il cateto opposto a 30° per cui sarà la metà dell’ipotenusa:

$AD=\frac{BD}{2}=\frac{32\sqrt3}{2}=16\sqrt3$

Considero ora il triangolo CHB rettangolo in $\widehat{H}$ con l’angolo in $\widehat{B}=60^\circ$ da cui ricaviamo l’angolo $B\widehat{C}H=30^\circ$ per cui il triangolo CHB risulta essere rettangolo di 30°/60°/90°.

Abbiamo calcolato $AD=CH=16\sqrt3$ ; CH è il cateto che si oppone all’angolo di 60° che risulta essere uguale a metà dell’ipotenusa per radice di 3 per cui: