Triangolo inscritto in una circonfereza. Calcolare il perimetro

Es.177 pag.879

In una circonferenza di raggio 2 la corda AB misura \frac{16}{9}\sqrt5. Preso sull’arco maggiore AB in modo che AC=CB determina il perimetro del triangolo ABC.

Es177pag879Considerando ABC, triangolo inscritto nella circonferenza, che è isoscele per costruzione. La base risulta essere AB (AC=CB) per cui la retta CD passante per il centro è anche altezza, mediana e bisettrice per cui avremo che:
HB=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}\cdot \frac{16}{9}\sqrt5=\frac{8}{9}\sqrt5

Il triangolo OHB è rettangolo e conoscendo HB appena trovato e OB=raggio possiamo calcolare OH con Pitagora
OH=\sqrt{OB^2-HB^2}=\sqrt{2^2-\left(\frac{8}{9}\sqrt5\right)^2}=

\sqrt{4-\frac{64}{81}\cdot 5}=\sqrt{4-\frac{320}{81}}=

\sqrt{\frac{324-320}{81}}=\sqrt{\frac{4}{81}}=\sqrt{\left(\frac{2}{9}\right)^2}=\frac{2}{9}

Calcoliamo ora CH=CO+OH = 2+\frac{2}{9}=\frac{18+2}{9}=\frac{20}{9}

Consideriamo ora il triangolo CHB rettangolo ed applichiamo Pitagora per calcolare CB noti CH e HB
CB=\sqrt{CH^2+HB^2}=\sqrt{\left(\frac{20}{9}\right)^2+\left(\frac{8}{9}\sqrt5\right)^2}=

\sqrt{\frac{400}{81}+\frac{64}{81}\cdot 5}=\sqrt{\frac{400+320}{81}}=

\sqrt{\frac{12^2}{9^2}\cdot 5}=\frac{12}{9}\sqrt5=\frac{4}{3}\sqrt5

Calcoliamo il perimetro:
2p=AB+AC+BC=\frac{16}{9}\sqrt5+\frac{4}{3}\sqrt5+\frac{4}{3}\sqrt5=

\frac{16}{9}\sqrt5+\frac{8}{3}\sqrt5=\frac{16+24}{9}\sqrt5=\frac{40}{9}\sqrt5

Aprile 2, 2016 , , Trigonometria No Comments »


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