Trapezio isoscele noti AB, lati obliqui e diagonale BD. Calcola angoli e perimetro

Es.231 pag.883

E’ dato il trapezio isoscele ABCD di cui conosci: la base maggiore AB= 18cm; i lati obliqui AD=BC=12cm e la diagonale BD=6√7cm. Determina gli angoli e il perimetro

Considero il triangolo ABD e calcolo il cosα con il teorema di Carnout
$a^2=b^2+c^2-2ac\cdot cos\alpha$

$DB^2=AD^2+AB^2-2AD\cdot AB\cdot cos\alpha$ da cui

$cos\alpha=\frac{AD^2+AB^2-BD^2}{2\cdot AD\cdot AB}$

$cos\alpha=\frac{12^2+18^2-(6\sqrt7)^2}{2\cdot 12\cdot 18}$

$cos\alpha=\frac{144+324-252}{432}$

$cos\alpha=\frac{468-252}{432}=\frac{216}{432}=\frac{1}{2}$

Ora possiamo calcolare l’angolo:
$\widehat{A}=\widehat{B}=arccos\left(\frac{1}{2}\right)=60^\circ$

Nel trapezio ABCD gli angoli $\widehat{A}+\widehat{D}=\widehat{C}+\widehat{D}=180^\circ$ infatti sono coniugati interni (rette parallele AB e CD tagliate dalle trasversali BC e AD) e la loro somma è 180° per cui
$\widehat{A}+ \widehat{D}=180^\circ$ da cui

$\widehat{D}=180^\circ-\widehat{A}=180^\circ-60^\circ=120^\circ=\widehat{C}$

Considero ora il triangolo ADH rettangolo con angoli di 30°/60°/90°
$AH=\frac{AD}{2}=\frac{12}{2}=6$ (AH = cateto opposto a 30° che è uguale a metà dell’ipotenusa)

$DC=AB-2\cdot AH=18-2\cdot 6=18-12=6$

$2p=AB+DC+2\cdot AD=18+6+2\cdot 12=48$

esercizi di trigonometria sui triangoli qualunque

Trapezio rettangolo noti AB e BD bisettrice di ABC. Calcolare angoli perimetro area

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