esercizi di trigonometria sui triangoli qualunque

In questo articolo proporrò alcuni esercizi di trigonometria sui triangoli qualunque risolvibili con l’appricazione del Teorema dei Seni o del Teorema del Coseno (o di Carnout).

Es.192 pag.880

Del triangolo ABC sono noti alcuni elementi. Determina ciò che è richiesto.

Fig. 1

$\alpha=60^\circ\;\;\;\gamma=75^\circ;\;\;b=12$ calcolare a=? e c=?

calcoliamo $\beta=180^\circ-(\alpha+\gamma)=180^\circ-135^\circ=45^\circ$
Calcoliamo il sen 75°
$sen75^\circ =sen(45^\circ +30^\circ) =sen45^\circ cos30^\circ +cos45^\circ sen30^\circ =$

$\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}+\frac{\sqrt2}{2}\cdot \frac{1}{2}=$

$\frac{\sqrt6}{4}+\frac{\sqrt2}{4}=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$

Applichiamo il teorema dei seni per calcolare a
$\frac{a}{sen\alpha}=\frac{b}{sen\beta}$ da cui

$a=\frac{bsen\gamma}{sen\beta}=\frac{12\cdot sen60^\circ}{sen45^\circ}=$

$\frac{12\cdot \frac{\sqrt3}{2}}{\frac{\sqrt2}{2}}=$

$6\sqrt3\cdot \frac{2}{\sqrt2}=$

$12\cdot \frac{\sqrt3}{\sqrt2}\cdot \frac{\sqrt2}{\sqrt2}=$

$12\cdot \frac{\sqrt6}{2}=6\sqrt6$

Applichiamo il teorema dei seni per calcolare c
$\frac{b}{sen\beta}=\frac{c}{sen\gamma}$ da cui

$c=\frac{bsen\gamma}{sen\beta}=\frac{12\cdot sen75^\circ}{sen45^\circ}=$

$\frac{12\cdot \frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}}{\frac{\sqrt2}{2}}=$

$3(\sqrt6+\sqrt2)\cdot \frac{2}{\sqrt2}=$

$\frac{6\sqrt6+6\sqrt2}{\sqrt2}\cdot \frac{\sqrt2}{\sqrt2}=$

$\frac{6\sqrt6\cdot\sqrt2+6\sqrt2\cdot\sqrt2}{2}=$

$\frac{6\sqrt12+12}{2}=$

$\frac{6(\sqrt12+)2}{2}=$

$3\sqrt{3\cdot 2^2}+6=$

$6\sqrt{3}+6=$

$6(1+\sqrt{3})$

Es.196 pag.880

Determina il perimetro di in parallelogramma ABCD di base AB sapendo che BD=12 cm; $D\widehat{A}B=\frac{\pi}{3}$ e $A\widehat{B}D=\frac{\pi}{4}$

Fig. 2

calcoliamo l’angolo gamma
$\gamma=\pi-(\alpha+\beta)=$

$\pi-\left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}\right)=$

$\pi-\frac{4\pi+3\pi}{12}=$

$\pi-\frac{7}{12}\pi=$

$\frac{12\pi-7\pi}{12}=\frac{5}{12}\pi$

Applichiamo il teorema dei seni per calcolare b
$\frac{a}{sen\alpha}=\frac{b}{sen\beta}$ da cui

$b=\frac{a\cdot sen\beta}{sen\alpha}=$

$\frac{a\cdot sen\frac{\pi}{4}}{sen\frac{\pi}{3}}=$

$\frac{12\cdot \frac{\sqrt2}{2}}{\frac{\sqrt3}{2}}=$

$6\sqrt2\cdot \frac{2}{\sqrt3}=$

$12\frac{2}{\sqrt3}\cdot\frac{\sqrt3}{\sqrt3}=$

$12\frac{\sqrt6}{3}=4\sqrt6$

Applichiamo il teorema dei seni per calcolare c
$\frac{b}{sen\beta}=\frac{c}{sen\gamma}$ da cui

$c=\frac{b\cdot sen\gamma}{sen\beta}=$

$\frac{12\cdot sen\frac{5}{12}\pi}{sen\frac{\pi}{3}}=$

$\frac{12\left(\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4} \right )}{\frac{\sqrt3}{2}}=$

$3(\sqrt6+\sqrt2)\cdot \frac{2}{\sqrt3}=$

$\frac{6(\sqrt6+\sqrt2)}{\sqrt3}\cdot \frac{\sqrt3}{\sqrt3}=$

$\frac{6(\sqrt{18}+\sqrt6)}{3}=$

$2(\sqrt{2\cdot 3^2}+\sqrt6)=$

$2(3\sqrt{2}+\sqrt6)=$

Calcoliamo il perimetro
$ADCD_{perimetro}=2(AB+AD)=$

$2[4\sqrt6+2(3\sqrt2+\sqrt6)]=$

$8\sqrt6+12\sqrt2+4\sqrt6=$

$12\sqrt6+12\sqrt2=$

$12(\sqrt6+\sqrt2)=$

$12(\sqrt2\cdot \sqrt3+\sqrt2)=$

$12\sqrt2(\sqrt3+1)$

Es.236 pag.884

Risolvi il triangolo ABC noti gli elementi indicati.
Fare riferimento alla Fig. 1 dell’esercizio n. 192
Elementi noti:
$b=\sqrt3+1$

$\beta=15^\circ$

$\gamma=120^\circ$

calcoliamo l’angolo alfa
$\alpha=180^\circ-(120^\circ+\45^\circ)=180^\circ-135^\circ=45^\circ$

Calcolo il sen 15° = sen (45°–30°)
$sen(45^\circ-30^\circ)=sen45^\circ cos30^\circ-cos45^\circ sen30^\circ=$

$\frac{\sqrt2}{2}\cdot \frac{\sqrt3}{2}-\frac{\sqrt2}{2}\cdot \frac{1}{2}=$

$\frac{\sqrt6}{4}-\frac{\sqrt2}{4}=$

$\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}$

Calcolo il sen 120° = sen(2•60°)
$sen(2\cdot 60^\circ)=2\cdot sen60^\circ\cdot cos60^\circ=$

$2\cdot \frac{\sqrt3}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt3}{2}$

Applichiamo il teorema dei seni per calcolare a
$\frac{a}{sen\alpha}=\frac{b}{sen\beta}$ da cui

$a=\frac{b\cdot sen\alpha}{sen\beta}=$

$\frac{b\cdot sen45^\circ}{sen15^\circ}=$

$\frac{(\sqrt3+1)\cdot\frac{\sqrt2}{2}}{\frac{\sqrt6-\sqrt2}{2}}=$

$\frac{(\sqrt3+1)\cdot\sqrt2}{2}\cdot{\frac{4}{\sqrt6-\sqrt2}}=$

$\frac{(\sqrt3+1)\cdot\sqrt2}{2}\cdot{\frac{4}{\sqrt2\cdot \sqrt3-\sqrt2}}=$

$\frac{(\sqrt3+1)\cdot\sqrt2}{2}\cdot\frac{4}{\sqrt2\cdot(\sqrt3-1)}=$

$\frac{2(\sqrt3+1)}{\sqrt3-1}\cdot\frac{\sqrt3+1}{\sqrt3+1}=$

$\frac{2(\sqrt3+1)^2}{3-1}=$

$\frac{2(3+1+2\sqrt3)}{2}=$

$4+2\sqrt3=2(2+\sqrt3)$

Applichiamo il teorema dei seni per calcolare c
$\frac{b}{sen\beta}=\frac{c}{sen\gamma}$ da cui

$c=\frac{b\cdot sen\gamma}{sen\beta}=$

$\frac{b\cdot sen120^\circ}{sen15^\circ}=$

$\frac{(\sqrt3+1)\cdot\frac{\sqrt3}{2}}{\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}}=$

$\frac{\sqrt3(\sqrt3+1)}{2}\cdot\frac{4}{\sqrt6-\sqrt2}=$

$\frac{2\sqrt3(\sqrt3+1)}{\sqrt2\cdot\sqrt3-\sqrt2}=$

$\frac{2\sqrt3(\sqrt3+1)}{\sqrt2\cdot(\sqrt3-1}=$

$\frac{2\sqrt3(\sqrt3+1)}{\sqrt2\cdot(\sqrt3-1)}\cdot\frac{\sqrt3+1}{\sqrt3+1}=$

$\frac{2\sqrt3(\sqrt3+1)^2}{\sqrt2\cdot(3-1)}=$

$\frac{2\sqrt3(3+1+2\sqrt3)}{2\sqrt2}=$

$\frac{\sqrt3(4+2\sqrt3)}{\sqrt2}=$

$\frac{2\sqrt3(2+\sqrt3)}{\sqrt2}=$

$\frac{4\sqrt3+6)}{\sqrt2}\cdot\frac{\sqrt2}{\sqrt2}=$

$\frac{4\sqrt6+6\sqrt2}{2}=$

$\frac{2(2\sqrt6+3\sqrt2)}{2}=$

$2\sqrt6+3\sqrt2$

Es.n. 245 pag. 885

Risolvi il triangolo ABC noti gli elementi indicati.
Fare riferimento alla Fig. 1 dell’esercizio n. 192
Elementi noti:
$a=\sqrt3$

$c=5\sqrt3$

$\beta=60^\circ$

Applico il teorema di Carnout per trovare b
$b^2=a^2+c^2-2ac\cdot cos\beta$

$b^2=3+75-2\sqrt3\cdot 5\sqrt3\cdot cos60^\circ$

$b^2=78-30\cdot \frac{1}{2}=78-15=63$

$b=\sqrt{63}\simeq 7,94$

Applichiamo il teorema dei seni per calcolare sen alfa
$\frac{a}{sen\alpha}=\frac{b}{sen\beta}$ da cui

$sen\alpha=\frac{a\cdot sen\beta}{b}=$

$sen\alpha=\frac{\sqrt3\cdot \frac{\sqrt3}{2}}{7,94}=$

$sen\alpha=\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{7,94}\simeq 0,19$

$\alpha=arcsen(0,19)\simeq 11^\circ$

Calcoliamo ora l’angolo gamma
$\gamma=180^\circ-(\alpha+\beta)$

$\gamma=180^\circ-(60^\circ+11^\circ)$

$\gamma=180^\circ-71^\circ=109^\circ$

Es.249 pag.886

Risolvi il triangolo ABC noti gli elementi indicati.
Fare riferimento alla Fig. 1 dell’esercizio n. 192
Elementi noti:
$a=12\sqrt2$
$b=8\sqrt3$
$\alpha=60^\circ$