Equazioni goniometriche

Risolvi le seguenti equazioni goniometriche:

Es. n. 225 pag 804.

$2sen\left(x+\frac{\pi}{6}\right\)\cdot cosx=1$

applichiamo le formule di addizione
$2\left(senx\cdot cos\frac{\pi}{6}+cosx\cdot sen\frac{\pi}{6}\right\)\cdot cosx=1$

sostituiamo i valori noti
$2\left(senx\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+cosx\cdot \frac{1}{2}\right\)\cdot cosx=1$

mettiamo $\frac{1}{2}$ in evidenza
$2\cdot\frac{1}{2}\left(\sqrt{3}senx+cosx\right\)\cdot cosx=1$

semplifico; moltiplico e sostituisco a 1 l’equazione fondamentale della trigonometria, ottenendo:
$\sqrt{3}senx\cdot cosx+cos^2x=sen^2x+cos^2x$

$\sqrt{3}senx\cdot cosx+cos^2x-sen^2x-cos^2x=0$

$\sqrt{3}senx\cdot cosx-sen^2x=0$

$senx(\sqrt{3}cosx-senx)=0$

per l’annullamento del prodotto avremo:
$senx=0$ per $x=0+2k\pi$

$\sqrt{3}cos-senx=0$ per $\sqrt{3}cosx=senx$

divido ambo i membri per cosx ottenendo
$\frac{senx}{cosx}=\sqrt{3}$

$tgx=\sqrt{3}$ da cui $x=\frac{\pi}{3}+k\pi$

Soluzione: $x=2k\pi\;\vee\;\frac{\pi}{3}+k\pi$

Es. n. 226 pag 804.

$cosx-2sen^2\frac{x}{2}=cos^2\frac{x}{2}$

applichiamo le formule di bisezione ottenendo:
$cosx-2\cdot\left(\sqrt{\frac{1-cosx}{2}}\right)^2=\left(\sqrt{\frac{1+cosx}{2}}\right)^2$

eliminando la radice con il quadrato ottengo:
$cosx-2\cdot\frac{1-cosx}{2}=\frac{1+cosx}{2}$
$cosx-(1-cosx)=\frac{1+cosx}{2}$
$cosx-1+cosx=\frac{1+cosx}{2}$
$2cosx-1=\frac{1+cosx}{2}$

moltiplico ambo i membri per 2
$4cosx-2=1+cosx$
$4cosx-cosx=2+1$
$3cosx=3$
$cosx=\frac{3}{3}=1$

Soluzione: $x=0+2k\pi=2k\pi$

skuolablog Gennaio 17, 2016 Equazioni, Esercizi di trigonometria, Trigonometria Trigonometria No Comments »

Equazioni goniometriche elementari del tipo tg x = c

Equazione goniometrica con modulo

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Equazioni goniometriche

Es. n. 225 pag 804.

Es. n. 226 pag 804.

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