Equazione goniometrica con modulo

Esercizio 1

Risolvi la seguente equazione goniometrica con modulo:
\left|cosx\right|=cos3x

per la risoluzione di questa equazione possono verificarsi due casi:
1° caso
Circ_Goniom_eq_modulo1cosx\geq 0 questo si verifica quando -\frac{\pi}{2}\leq x \leq \frac{\pi}{2} (cioè quando cosx si trova nel I e IV quadrante) oppure non volendo utilizzare -\frac{\pi}{2} possiamo anche scrivere 0\leq x\leq \frac{\pi}{2} ; \frac{3}{2}\pi \leq x \leq 2\pi pertanto in questo caso la nostra equazione diventa: cosx=cos3x

 

 

2° caso
Circ_Goniom_eq_modulo2cosx<0 questo si verifica quando \frac{\pi}{2}<x<\frac{3}{2}\pi (cioè quando cosx si trova nel II e III quadrante) pertanto in questo caso la nostra equazione diventa: -cosx=cos3x

mettiamo a sistema le nostre due equazioni e risolviamo
\begin{cases} cosx=cos3x, & \mbox{per }cosx\geq 0 \\ -cosx=cos3x, & \mbox{per }cosx<0\end{cases}

adesso dobbiamo sviluppare il cos3x=cos(2x+x) applichiamo le formule di addizione:
cos3x=cos(2x+x)=cos2x\cdot cosx-sen2x\cdot senx

ora applichiamo le formule di duplicazione per calcolare cos2x e sen2x:
cos2x=cos^2x-sen^2x
sen2x=2senx\cdot cosx

sostituendo avremo:
cos3x=(cos^2x-sen^2x)\cdot cosx-2senx\cdot cosx\cdot senx
=cos^3x-sen^2x\cdot cosx-2sen^2x\cdot cosx
=cos^3x-3sen^2x\cdot cosx

Ora ricordando che dall’equazione fondamentale della trigonometria sen^2x=1-cos^2x sostituiamo nella precedente ottenendo:
=cos^3x-3(1-cos^2x)\cdot cosx moltiplichiamo
=cos^3x-3cosx+3cos^3x quindi alla fine avremo
cos3x=4cos^3x-3cosx

Nota: naturalmente nei formulari di trigonometria è facile trovare già i risultati finali delle formule di triplicazione di seno, coseno, tangente e cotangente senza bisogno di eseguire i calcoli con le formule di addizione e di duplicazione (comunque ritengo che lo svolgimento sia stato un utile esercizio).

Quindi ritornando al nostro sistema di partenza avremo:
\begin{cases} cosx=cos3x, & \mbox{per }cosx\geq 0 \\ -cosx=cos3x, & \mbox{per }cosx<0\end{cases}

\begin{cases} cosx=4cos^3x-3cosx, & \mbox{per }cosx\geq 0 \\ -cosx=4cos^3x-3cosx, & \mbox{per }cosx<0\end{cases}

\begin{cases} 4cos^3x-3cosx-cosx=0, & \mbox{per }cosx\geq 0 \\ 4cos^3x-3cosx+cosx=0, & \mbox{per }cosx<0\end{cases}

\begin{cases} 4cos^3x-4cosx=0, & \mbox{per }cosx\geq 0 \\ 4cos^3x-2cosx=0, & \mbox{per }cosx<0\end{cases}

A questo punto divido ambo i membri della I^ equazione del sistema per 4 e quelli della II^ equazione per 2:
\begin{cases} cos^3x-cosx=0, & \mbox{per }cosx\geq 0 \\ 2cos^3x-cosx=0, & \mbox{per }cosx<0\end{cases}

\begin{cases} cosx(cos^2x-1)=0, & \mbox{per }cosx\geq 0 \\ cosx(2cos^2x-1)=0, & \mbox{per }cosx<0\end{cases}

Applico ad entrambe le equazioni del sistema la legge dell’annullamento del prodotto:
I^ equazione
cosx=0 soddisfatta per x=\frac{\pi}{2}+k\pi; ricordandoci della limitazione (accettabile solo nel I e IV quadrante cioè  -\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2} quindi questa soluzione è accettabile;

cos^2x-1=0; cos^2x=1; cosx=\pm\frac{1}{2} soddisfatta per x=0+k\pi ricordandoci però della limitazione (accettabile solo nel I e IV quadrante) questa soluzione è accettabile solo quando la x vale 0 oppure 2k\pi quindi la soluzione accettabile diventa x=2k\pi

II^ equazione
cosx=0 soddisfatta per x=\frac{\pi}{2}+k\pi; ricordandoci della limitazione (accettabile solo nel II e III quadrante cioè per \frac{\pi}{2}<x<\frac{3}{2}\pi) questa soluzione NON è accettabile

2cos^2x-1=0; 2cos^2x=1; cos^2x=\frac{1}{2}; cosx=\pm\sqrt{\frac{1}{2}}; cosx=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}; razionalizzando avremo cosx=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}; cosx=\pm\frac{\sqrt{2}}{2} ricordandoci della limitazione (accettabile solo nel II e III quadrante) delle due soluzioni trovate è accettabile solo quella con il segno meno cioè -\frac{\sqrt{2}}{2} quindi avremo la soluzione accettabile quando x=\frac{3}{4}\pi+2k\pi oppure x=\frac{5}{4}\pi+2k\pi

La soluzione dell’equazione di partenza |cosx|=cos3x sarà data dalla soluzione del nostro sistema \begin{cases} cosx(cos^2x-1)=o, & \mbox{per }cosx\geq 0 \\ cosx(2cos^2x-1)=0, & \mbox{per }cosx<0\end{cases} e quindi dall’unione delle soluzioni trovate

\begin{cases} x=2k\pi \\ x=\frac{\pi}{2}+k\pi \\ x=\frac{3}{4}\pi+2k\pi \\x=\frac{5}{4}\pi+2k\pi \end{cases}

Esercizio 2

Risolvi la seguente equazione goniometrica con modulo:
\left|cosx\right|=cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)

anche per la risoluzione di questa equazione, come nell’esercizio precedente, possono verificarsi due casi:
1° caso
Circ_Goniom_eq_modulo1cosx\geq 0 questo si verifica quando -\frac{\pi}{2}\leq x \leq \frac{\pi}{2} (cioè quando cosx si trova nel I e IV quadrante) oppure non volendo utilizzare -\frac{\pi}{2} possiamo anche scrivere 0\leq x\leq \frac{\pi}{2} ; \frac{3}{2}\pi \leq x \leq 2\pi pertanto in questo caso la nostra equazione diventa: cosx=cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)

 

2° caso
Circ_Goniom_eq_modulo2cosx<0 questo si verifica quando \frac{\pi}{2}<x<\frac{3}{2}\pi (cioè quando cosx si trova nel II e III quadrante) pertanto in questo caso la nostra equazione diventa: -cosx=cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)

mettiamo a sistema le nostre due equazioni e risolviamo
\begin{cases} cosx=cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right), & \mbox{per }cosx\geq 0 \\ -cosx=cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right), & \mbox{per }cosx<0\end{cases}

adesso dobbiamo sviluppare il cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right) applichiamo le formule di addizione:
cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=cosx\cdot cos\frac{\pi}{3}-senx\cdot sen\frac{\pi}{3} sostituendo nel sistema avremo:

\begin{cases} cosx=cosx\cdot cos\frac{\pi}{3}-senx\cdot sen\frac{\pi}{3}, & \mbox{per }cosx\leq 0 \\ -cosx=cosx\cdot cos\frac{\pi}{3}-senx\cdot sen\frac{\pi}{3}, & \mbox{per }cosx<0\end{cases}

Sostituiamo i valori di seno e coseno noti ottenendo:

\begin{cases} cosx=\frac{1}{2}\cdot cosx-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot senx, & \mbox{per }cosx\leq 0 \\ cosx=-\frac{1}{2}\cdot cosx+\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot senx, & \mbox{per }cosx<0 \end{cases}

\begin{cases} cosx-\frac{1}{2}\cdot cosx+\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot senx=0, & \mbox{per }cosx\leq 0 \\ cosx+\frac{1}{2}\cdot cosx-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot senx=0, & \mbox{per }cosx<0\end{cases}

\begin{cases} \frac{2cosx-cosx}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot senx=0, & \mbox{per }cosx\leq 0 \\ \frac{2cosx+cosx}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot senx=0, & \mbox{per }cosx<0 \end{cases}

\begin{cases} \frac{1}{2}cosx+\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot senx=0, & \mbox{per }cosx\leq 0 \\ \frac{3}{2}cosx-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot senx=0, & \mbox{per }cosx<0 \end{cases}

moltiplico per 2 ambo i membri della I^ e II^ equazione ottenendo:

\begin{cases} cosx+\sqrt{3}\cdot senx=0, & \mbox{per }cosx\leq 0 \\ 3cosx-\sqrt{3}\cdot senx=0, & \mbox{per }cosx<0\end{cases}

ora divido ambo i membri della I^ e II^ equazione per cosx con x\neq \frac{\pi}{2}+k\pi

\begin{cases} \frac{cosx}{cosx}+\sqrt{3}\cdot\frac{senx}{cosx}=0, & \mbox{per }cosx\leq 0 \\ 3\cdot \frac{cosx}{cosx}-\sqrt{3}\cdot \frac{senx}{cosx}=0, & \mbox{per }cosx<0\end{cases}

\begin{cases} 1+\sqrt{3}\cdot tgx=0, & \mbox{per }cosx\leq 0 \\ 3-\sqrt{3}\cdot tgx=0, & \mbox{per }cosx<0\end{cases}

\begin{cases} \sqrt{3}\cdot tgx=-1, & \mbox{per }cosx\leq 0 \\ -\sqrt{3}\cdot tgx=-3, & \mbox{per }cosx<0\end{cases}

\begin{cases} tgx=-\frac{1}{\sqrt{3}}, & \mbox{per }cosx\leq 0 \\ tgx=\frac{-3}{-\sqrt{3}}, & \mbox{per }cosx<0\end{cases}

razionalizziamo

\begin{cases} tgx=-\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}, & \mbox{per }cosx\leq 0 \\ tgx=\frac{3}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}, & \mbox{per }cosx<0\end{cases}

\begin{cases} tgx=-\frac{\sqrt{3}}{3}, & \mbox{per }cosx\leq 0 \\ tgx=\sqrt{3}, & \mbox{per }cosx<0\end{cases}

esaminiamo e discutiamo le soluzioni trovate:

Soluzione I^ equazione

tgx=-\frac{\sqrt{3}}{3}  per x=-\frac{\pi}{6}+k\pi; questo nel caso in cui avessimo avuto un’equazione di partenza senza modulo. Ma noi avevamo visto che la soluzione della I^ equazione era valida quando  cosx\geq 0 cioè per -\frac{\pi}{2}\leq x \leq \frac{\pi}{2} (cioè quando cosx si trova nel I e IV quadrante).

Ora considerando che gli angoli la cui tangente risulta essere -\frac{\sqrt{3}}{3} sono x=-\frac{\pi}{6} e x=\frac{5}{6}\pi, delle due soluzioni trovate  solo la prima cioè  x=-\frac{\pi}{6} risulta accettabile poiché si trova nel IV quadrante mentre la seconda x=\frac{5}{6}\pi NON è accettabile in quanto si trova nel II quadrante (in contrasto con le condizioni di esistenza iniziali). Quindi la soluzione della I^ equazione è x=-\frac{\pi}{6}+2k\pi

Soluzione II^ equazione

tgx=\sqrt{3} x=\frac{\pi}{3}+k\pi; questo sempre nel caso in cui avessimo avuto un’equazione di partenza senza modulo. Ma noi avevamo visto che la soluzione della II^ equazione era valida quando  cosx< 0 cioè per \frac{\pi}{2}<x<\frac{3}{2}\pi (cioè quando cosx si trova nel II e III quadrante).

Ora considerando che gli angoli la cui tangente risulta essere \sqrt{3} sono x=\frac{\pi}{3} e x=\frac{7}{6}\pi, delle due soluzioni trovate solo la seconda cioè  x=\frac{7}{6}\pi risulta accettabile poiché si trova nel III quadrante mentre la prima x=\frac{\pi}{3} NON è accettabile in quanto si trova nel I quadrante (in contrasto con le condizioni di esistenza iniziali). Quindi la soluzione della II^ equazione è x=\frac{7}{6}\pi+2k\pi

La soluzione dell’equazione di partenza \left|cosx\right|=cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right) sarà data dall’insieme delle soluzioni  del nostro sistema:

\begin{cases} cosx=cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right), & \mbox{per }cosx\geq 0 \\ -cosx=cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right), & \mbox{per }cosx<0\end{cases}

e quindi dall’unione delle soluzioni trovate cioè:

\begin{cases} x=-\frac{\pi}{6}+2k\pi \\ x=\frac{7}{6}\pi+2k\pi \end{cases}

Gennaio 17, 2016 , , Trigonometria No Comments »


Lascia un commento

Il tuo indirizzo email non sarà pubblicato. I campi obbligatori sono contrassegnati *

error: Contenuto protetto !!

Apri un sito e guadagna con Altervista - Disclaimer - Segnala abuso - Privacy Policy - Personalizza tracciamento pubblicitario