Equazioni goniometriche elementari del tipo cos x = b

A premessa diciamo che vale quanto già detto per la funzione sen x = a.

Risolviamo cos x = b
Il coseno di un angolo è l’ascissa del punto della circonferenza goniometrica a cui l’angolo è associato, quindi cerchiamo i punti della circonferenza goniometrica di ascissa b.

Distinguiamo due casi:

L’equazione è determinata
Esempio
$cosx=-\frac{1}{2}$

Per la periodicità della funzione coseno gli angoli che hanno $cosx=-\frac{1}{2}$ sono $\frac{2}{3}\pi$ e $-\frac{2}{3}\pi$ a cui dobbiamo aggiungere quelle ottenute sommando i multipli interi di 2π. Quindi le soluzioni dell’equazione data sono:
$x=\frac{2}{3}\pi+2k\pi\;\vee\;x=-\frac{2}{3}\pi+2k\pi$
che possiamo scrivere come
$x=\pm \frac{2}{3}\pi+2k\pi$

L’equazione è impossibile
L’equazione cos x = b è impossibile se b < -1 oppure b > 1, poichè $-1\leq cosx\leq 1$

Esempio
$cosx=-\frac{5}{2}$
non ha soluzioni perchè $-\frac{5}{2}<-1$

In generale l’equazione elementare $cosx=b$ può essere:
• determinata se $-1\leq b \leq 1$ ; una volta trovata una soluzione $\beta$ , cioè un angolo $\beta$ tale che $cos\beta=b$ , le soluzioni dell’equazione sono:
$x=\beta+2k\pi\;\vee\;x=-\beta+2k\pi$
• impossibile se b < -1 oppure b > 1