Calcolo della probabilità. Esercizi 4

Calcolo della probabilità. Esercizi 4

L’IMPOSTAZIONE ASSIOMATICA DELLA PROBABILITÀ

n.48 pag.81 alfa

Tre persone A, B e C partecipano a un gioco nel quale uno dei tre giocatori deve vincere. La probabilità di vincita di A è doppia di quella di B e la probabilità di perdere di B è i 5/6 della probabilità di perdere di C. Determina le probabilità di vincita dei tre giocatori.

Indichiamo con p(A), p(B) e p(C) le probabilità che hanno A, B e C di vincere.
Siccome il problema ci dice che “… uno dei tre deve vincere” possiamo scrivere che p(A)+p(B)+p(C)=1
Sappiamo inoltre che p(A) è il doppio di p(B) quindi p(A)= 2·p(B)
Infine avendo indicato con p(B) e p(C) le probabilità di vincita di B e di C, le loro probabilità di perdere saranno date da 1–p(B) e 1–p(C) per cui possiamo scrivere:

Mettendo a sistema le tre equazioni individuate avremo la soluzione del nostro problema:

Dalla 1^ equazione del sistema calcolo p(A)=1–p(B)–p(C)  (1)
ora confronto la (1) con la 2^ equazione del sistema:
p(A)=1–p(B)–p(C)
p(A)=2·p(B)
essendo uguali i primi membri p(A)=p(A) lo saranno anche i secondi membri:
1–p(B)–p(C)=2·p(B) dall’uguaglianza ricaviamo p(B)
1–p(C)=2·p(B)+p(B)
3·p(B)=1–p(C)
  (2)

Dalla 3^ equazione del sistema calcoliamo p(B)




(3)

Confronto la (2) con la (3)


essendo uguali i primi membri p(B)=p(B) lo saranno anche i secondi:




  (4)

Sostituisco il valore di p(B) appena trovato nella (3) ottenendo:


(5)

Essendo p(A)=1–p(B)–p(C) avremo:

LA PROBABILITÀ DELLA SOMMA LOGICA DI EVENTI

n.56 pag.84 alfa

Un cassetto contiene 18 calzini blu, 6 neri e 4 grigi. Calcola la probabilità che, estraendone uno a caso, esso sia blu o grigio.

I casi possibili sono: il tolale dei calzini 18+6+4=28 i casi favorevoli sono: 18 per i calzini blu; 6 per quelli neri e 4 per quelli grigi.
Ora la probabilità che esca un calzino blu è data da:

Mentre la probabilità che esca un calzino grigio è data da:

n.59 pag.85 alfa

Una scatola contiene 54 fra cioccolatini, caramelle e liquirizie. Sapendo che i cioccolatini sono il doppio delle liquirizie e le caramelle sono i 3/2 delle liquirizie, calcola la probabilità di prendere a caso un cioccolatino o una caramella.

Per trovare il numero dei cioccolattini, delle caramelle e delle liquirizie occorre risolvere un sistema a tre incognite. Poniamo:
cioccolattini = y
caramelle = y
liquirizie = z
sappiamo che:

sostituisco il valore di x e y della 2^ e 3^ equazione nella 1^ equazione del sistema ottenendo:

[/eq]
  (1)

Sostituiamo nella 2^ e 3^ equazione del sistema il valore di z trovato nella (1) ottenendo:

Ora possiamo calcolare i dati richiesti dal problema. I casi possibili sono il tolale dei dolciumi: 54; i casi favorevoli sono: 24 per i cioccolattini; 18 per le caramelle.
Ora la probabilità che esca un cioccolattino è data da:

Mentre la probabilità che esca una caramella è data da:

n.60 pag.85 alfa

Calcola la probabilità che, lanciando un dado, esca un numero maggiore di 2 o pari.

I casi possibili sono il tolale delle facce del dado: 6; i casi favorevoli sono: 4 per i numeri maggiori di 2 (infatti sono il 3,4,5,6); 3 per i numeri pari (infatti sono 2,4,6).
La probabilità che esca un numero maggiore di 2 è data da:

Mentre la probabilità che esca un numero pari è data da:

I due casi sono tra loro compatibili, infatti un numero maggiore di 2 può essere anche pari e l’insieme intersezione dei due eventi è dato dall’insieme formato dai numeri {4,6} quindi 2 elementi per cui bisogna calcolare:

Alla fine possiamo calcolare il dato richiesto:

n.64 pag.85 alfa

Un’urna contiene 4 palline bianche e 8 nere. Calcola la probabilità che, estraendo consecutivamente tre palline, senza rimettere la pallina estratta nell’urna:
a) siano dello stesso colore;
b) siano due bianche e una nera o due nere e una bianca.

a) I casi possibili sono: 8+4=12; i casi favorevoli sono p(E1)=BBB (tutte bianche) e p(E2)=NNN (tutte nere)
Partendo dal presupposto che le palline una volta estratte non vengono rimesse nell’urna, la probabilità che siano tutte bianche sarà:


La probabilità che siano tutte nere invece sarà:


Calcoliamo ora la probabilità totale che sarà data da:

b) 1° caso : probabilità di estrarre 2 bianche e 1 nera (BBN, BNB, NBB)
Si tratta di eventi dipendenti, nel senso che ciascuna estrazione è condizionata dalle precedenti. Possiamo notare che i tre eventi (BBN, BNB, NBB) hanno uguale probabilità di verificarsi quindi calcolo la probabilità che si verifichi BBN e poi moltiplico per 3
p(BBN)=P(E1)·P(E2)·P(E3)
P(E1) = probabilità che esca la pallina bianca = casi favorevoli / casi possibili = 4/12 = 1/3 perché complessivamente le palline sono 12 e quelle bianche sono 4.
Alla seconda estrazione occorre tener presente che dall’urna è stata tolta una pallina bianca e quindi restano 3 palline bianche e 8 nere, quindi:
P(E2) = probabilità che esca la pallina bianca = casi favorevoli / casi possibili = 3/11
Alla terza estrazione occorre tener presente che dall’urna sono state tolte due palline bianche e quindi restano 2 palline bianche e 8 nere, per cui si ha
P(E3) = probabilità che esca la pallina nera = casi favorevoli / casi possibili = 8/10 = 4/5
La probabilità che si verifichi l’estrazione di 2 palline bianche e una nera è data dal prodotto delle tre probabilità appena trovate il tutto moltiplicato 3:

2° caso: analogo il procedimento per il calcolo della probabilità che siano estratte 2 nere e 1 bianca (NNB, NBN, BNN)
Si tratta sempre di eventi dipendenti, nel senso che ciascuna estrazione è condizionata dalle precedenti. Anche in questo caso possiamo notare che i tre eventi (NNB, NBN, BNN) hanno uguale probabilità di verificarsi quindi calcolo la probabilità che si verifichi NNB e poi moltiplico per 3
P(E1) = probabilità che esca la pallina nera = casi favorevoli / casi possibili = 8/12 = 2/3
P(E2) = probabilità che esca la seconda nera = casi favorevoli / casi possibili = 7/11
P(E3) = probabilità che esca la pallina bianca = casi favorevoli / casi possibili = 4/10 = 2/5

Alla fine possiamo calcolare il dato richiesto: