Calcolo della probabilità. Esercizi 3

Calcolo della probabilità. Esercizi 3

LA CONCEZIONE STATISTICA DELLA PROBABILITÀ

Frequenza relativa di un evento: è il rapporto tra il numero m delle volte in cui si è verificato un fenomeno e il numero n delle prove effettuate nelle stesse condizioni:
f(E)=\frac{m}{n}
Legge empirica del caso: all’aumentare del numero n delle prove effettuate, la frequenza di un evento E tende alla probabilità.
La probabilità di un evento E, secondo l’impostazione statistica, è uguale alla frequenza relativa, se il numero di prove effettuate è sufficientemente alto.

Es.33 pag.81 alfa

Una medaglia commemorativa reca da una parte una effigie e dall’altra un motto. Viene lanciata per 60 volte e la parte con il motto si è presentata 22 volte. Calcola il valore della probabilità dell’evento «uscita della faccia con il motto».
f(E)=\frac{m}{n}
f(E)=\frac{22}{60}=\frac{11}{30}

Es.34 pag.81 alfa

Un dado non è regolare. Vengono effettuati 700 lanci ottenendo i seguenti risultati:
a) la faccia 1 si è presentata 104 volte;
b) la faccia 2 si è presentata 130 volte;
c) la faccia 3 si è presentata 92 volte;
d) la faccia 4 si è presentata 148 volte;
e) la faccia 5 si è presentata 115 volte;
f) la faccia 6 si è presentata 111 volte;    
Calcola le probabilità da attribuire all’uscita delle facce.

a) f(E)=\frac{m}{n}=\frac{104}{700}=\frac{26}{175}

b) f(E)=\frac{m}{n}=\frac{130}{700}=\frac{13}{70}

c) f(E)=\frac{m}{n}=\frac{92}{700}=\frac{23}{175}

d) f(E)=\frac{m}{n}=\frac{148}{700}=\frac{37}{175}

e) f(E)=\frac{m}{n}=\frac{115}{700}=\frac{23}{140}

f) f(E)=\frac{m}{n}=\frac{111}{700}

Es.38 pag.81 alfa

Un’urna contiene 8 palline gialle, 7 rosse e 5 verdi. Si effettuano 400 estrazioni, rimettendo ogni volta la pallina estratta nell’urna. Calcola quante volte in media possono presentarsi la pallina gialla, quella rossa e la verde.

In questo caso per la soluzione dell’esercizio possiamo applicare delle semplici proporzioni:

Abbiamo 400 estrazioni con 20 palline totali e vogliamo sapere quante volte in media possono presentarsi la pallina gialla (di cui abbiamo 8 palline), quella rossa (di cui abbiamo 7 palline) e quella verde (di cui abbiamo 5 palline) per cui possiamo scrivere le seguenti tre proporzioni:

20\;:\;400\;=\;8\;:\;x\;\Rightarrow\;x=\frac{400\cdot 8}{20}=160

20\;:\;400\;=\;7\;:\;x\;\Rightarrow\;x=\frac{400\cdot 7}{20}=140

20\;:\;400\;=\;5\;:\;x\;\Rightarrow\;x=\frac{400\cdot 5}{20}=100

LA CONCEZIONE SOGGETTIVA DELLA PROBABILITÀ

La probabilità di un evento E, secondo l’impostazione soggettiva, è il rapporto tra il prezzo P che una persona ritiene equo pagare e la vincita V che riceverà al verificarsi di E:
p(E)=\frac{P}{V}

Es.40 pag.81 alfa

A una corsa di cavalli Andrea scommette 8 euro per riceverne 12 in caso di vittoria del cavallo di nome Atrix. Calcola la probabilità che attribuisce alla vittoria del suo cavallo favorito.

p(E)=\frac{P}{V}
p(E)=\frac{8}{12}==\frac{2}{3}

L’IMPOSTAZIONE ASSIOMATICA DELLA PROBABILITÀ

L’impostazione assiomatica permette di calcolare la probabilità di un evento attraverso la logica e la teoria degli insiemi.
Spazio dei campioni: l’insieme U, che contiene tutti i possibili risultati di un esperimento.
Spazio degli eventi: l’insieme che contiene tutti i possibili sottoinsiemi di U, ovvero tutti i possibili eventi. Esso coincide con P(U).
La probabilità è una funzione che associa a ogni evento E un numero reale che soddisfi gli assiomi:
• p(E)\ge 0;
• p(U)=1;
• se E_1\cap E_2=\empty \Rightarrow p(E_1\cup E_2)=p(E_1)+p(E_2).

Es.47 pag.83 alfa

Una moneta viene truccata in modo tale che la probabilità che si presenti croce sia un terzo di quella che si presenti testa. Determina il valore delle due probabilità.

Indichiamo con C la probabilità che esca croce e con T la probabilità che esca testa; sapendo che la probabilità che si verifichino i due eventi (cioè che esca testa o croce) è 1 e che la probabilità che esca croce, con la moneta truccata, è un terzo di quella che esca testa C=\frac{1}{3}T ottengo il seguente sistema :
\begin{cases} T+C=1 \\ C=\frac{1}{3}T \end{cases}
\begin{cases} C=1-T \\ C=\frac{1}{3}T \end{cases}
essendo uguali i primi membri (C = C) lo saranno anche i secondi:
1-T=\frac{1}{3}T
1=\frac{1}{3}T+T
1=\frac{T+3T}{3}
1=\frac{4}{3}T
T=\frac{3}{4}
Sapendo che C+T=1 avremo che C=1-T per cui sostituendo T avremo:
C=1-T=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}

Es.49 pag.83 alfa

Un dado non è regolare e le facce 1 e 6 hanno la stessa probabilità di verificarsi, ma doppia di quella di ciascuno degli altri numeri. Calcola la probabilità dei seguenti eventi relativi al lancio del dado:
 A = «si presenta una faccia con un numero pari»;
 B = «si presenta un numero multiplo di 3»;
 C = «si presenta un numero primo».

A: I numeri pari che possono uscire sono 2,4,6,6 (il 6 ha probabilità doppia perciò lo riportiamo due volte); i dispari 1,1,3,5 (l’1 ha probabilità doppia perciò lo riportiamo due volte). I casi favorevoli sono 4 (i quattro numeri pari), i casi possibili sono 8 (somma dei numeri pari e dispari che possono uscire) per cui avremo:
p(A)=\frac{\mbox{casi favorevoli}}{\mbox{casi possibili}}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}\approx 0,50=50%

B: I numeri multipli di 3 sono 3,6,6 (il 6 ha probabilità doppia perciò lo riportiamo due volte) mentre i non multipli sono 1,1,2,4,5 (l’1 ha probabilità doppia perciò lo riportiamo due volte). I casi favorevoli sono 3 (i multipli di 3), i casi possibili sono 8 (somma dei numeri multipli di tre e dei non multili di tre che possono uscire) per cui avremo:
p(B)=\frac{\mbox{casi favorevoli}}{\mbox{casi possibili}}=\frac{3}{8}\approx 0,375=37,5%

C: I numeri primi sono 2,3,5 mentre i numeri non primi sono 1,1,4,6,6 (l’1 e il 6 hanno probabilità doppia perciò li riportiamo due volte). i casi favorevoli sono 3 (i tre numeri primi) i casi possibili sono 8 (somma dei numeri primi e non primi che possono uscire) per cui avremo:
p(C)=\frac{\mbox{casi favorevoli}}{\mbox{casi possibili}}=\frac{3}{8}\approx 0,375=37,5%

LA PROBABILITÀ DELLA SOMMA LOGICA DI EVENTI

Somma logica di due eventi: evento che si verifica quando almeno uno dei due eventi si verifica.
Due eventi E1 ed E2 sono:
• incompatibili se E_1\cap E_2=\empty;
• compatibili se E_1\cap E_2\neq \empty.
p(E_1\cup pE_2)=p(E_1)+p(E_2)-p(E_1\cap E_2).
Caso particolare: se gli eventi sono incompatibili, allora p(E_1)\cup p(E_2)=p(E_1)+p(E_2).
Teorema della probabilità totale
Dati n eventi E1, E2, … , En a due a due incompatibili: p(E_1\cup E_2\cup E_3\mbox\;{...}\cup E_n\;=p(E_1)+p(E_2)+p(E_3)+\;\mbox{...}\;+p(E_n).

Es.51 pag.83 alfa

Se E1 ed E2 sono due eventi incompatibili con p(E1)=0,42 e p(E2)=0,20, allora p(E_1\cup E_2), vale:
p(E_1\cup E_2)=
p(E_1)+p(E_2)=
0,42+0,20=0,62

Es.55 pag.83 alfa

In una busta sono contenute 28 figurine numerate da 1 a 28. Calcola la probabilità di estrarre a caso una figurina con numero dispari o multiplo di 4.
Casi possibili 28 (n. totale figurine)
casi favorevoli: E1: numeri dispari = 14; E2: multipli di 4 = 7 ed inoltre i due eventi sono incompatibili (un numero dispari non può essere multiplo di 4) per cui avremo:
p(E_1=\frac{14}{28}=\frac{1}{2}
p(E_2=\frac{7}{28}=\frac{1}{4}
p(E_1)\cup p(E_2)=p(E_1)+p(E_2)
p(E_1)\cup p(E_2)=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{2+1}{4}=\frac{3}{4}

Es.57 pag.84 alfa

Calcola la probabilità che, lanciando un dado, si verifichi almeno uno dei due eventi:
E1 = «numero dispari»;
E2 = «numero minore di 4».
Casi possibili: 6 (le facce del dado)
Casi favorevoli: E1 = 3 (1, 3, 5); E2 = 3 (1, 2, 3), gli eventi sono compatibili in quanto esistono numeri dispari minori di 3 per cui avremo:
p(E_1)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}
p(E_2)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}
Ora essendo gli eventi compatibili bisogna calcolare l’intersezione dell’insieme E1:{1,3,5} ed E2:{1,2,3} che è dato dall’insieme formato dai due elementi {1,3} quindi avremo:

p(E_1\cap E_2)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}
p(E_1\cup E_2)=p(E_1)+p(E_2)-p(E_1\cap E_2)
p(E_1\cap E_2)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=
1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}

Es.63 pag.85 alfa

Un’urna contiene 30 palline numerate. Calcola la probabilità che, estraendo una pallina, esca:
a) un numero dispari;
b) un numero minore di 10;
c) un numero dispari o minore di 10.

a) n. casi possibili: 30 (totale palline numerate); n. casi favorevoli: 15 (totale numeri dispari)
p(E)=\frac{\mbox{casi favorevoli}}{\mbox{casi possibili}}=
\frac{15}{30}=\frac{1}{2}\approx 0,50=50%

b) n. casi possibili: 30 (totale palline numerate); n. casi favorevoli: 9 (totale numeri < 10)
p(E)=\frac{\mbox{casi favorevoli}}{\mbox{casi possibili}}=
\frac{9}{30}=\frac{3}{10}\approx 0,30=30%

c) n. dispari oppure < 10; gli eventi sono tra loro compatibili in quanto un numero < 10 può essere dispari
n. casi possibili: 30 (totale palline numerate); n. casi favorevoli: 5 (totale numeri dispari < 10 {1,3,5,7,9});
p(E_1\cap E_2)=\frac{\mbox{casi favorevoli}}{\mbox{casi possibili}}=
\frac{5}{30}=\frac{1}{6}\approx 0,17=17%
p(E_1)\cup p(E_2)=p(E_1)+p(E_2)-p(E_1\cap E_2)=
=\frac{1}{2}+\frac{3}{10}-\frac{1}{6}=
=\frac{15+9-5}{30}=\frac{19}{30}

Es.65 pag.85 alfa

Si estrae una carta da un mazzo di 52 carte. Calcola la probabilità che la carta:
a) sia un re o un sette;
b) sia un re o una carta di picche;
c) sia un asso o una carta di picche o una figura.

a) n. casi possibili: 52 (totale carte del mazzo); n. casi favorevoli: 4 per i Re (E1) e 4 per i sette (E2) (infatti in un mazzo di 52 carte ci sono 4 Re e 4 sette) quindi avremo:
p(E_1)=\frac{4}{52}=\frac{1}{13}
p(E_2)=\frac{4}{52}=\frac{1}{13}
I due eventi sono incompatibili: i sette non possono essere contemporaneamente anche Re per cui il risultato finale sarà:
p(E_1\cup E_2)=p(E_1)+p(E_2)=
\frac{1}{13}=\frac{1}{13}=\frac{2}{13}

b) n. casi possibili: 52 (totale carte del mazzo); n. casi favorevoli: 4 per i Re (E1)(in un mazzo di 52 carte ci sono 4 Re) e 13 per le carte di picche (E2) (in un mazzo di 52 carte ci sono 13 carte di picche) quindi avremo:
p(E_1)=\frac{4}{52}=\frac{1}{13}
p(E_2)=\frac{13}{52}=\frac{1}{4}
I due eventi sono compatibili: uno dei Re è anche una carta di picche per cui l’intersezione sarà:
p(E_1\cap E_2)=\frac{1}{52}
da cui il risultato finale sarà:
p(E_1\cup E_2)=p(E_1)+p(E_2)-p(E_1\cap E_2)=
\frac{1}{13}+\frac{1}{4}-\frac{1}{52}=
\frac{4+13-1}{52}=\frac{16}{52}=\frac{4}{13}

c) n. casi possibili: 52 (totale carte del mazzo); n. casi favorevoli: 4 per i Re (E1)(in un mazzo di 52 carte ci sono 4 Re) e 13 per le carte di picche (E2) (in un mazzo di 52 carte ci sono 13 carte di picche) e 12 figure (E3) (in un mazzo di 52 carte ci sono 3 figure x 4 semi = 12 figure) quindi avremo:
p(E_1)=\frac{4}{52}=\frac{1}{13}
p(E_2)=\frac{13}{52}=\frac{1}{4}
p(E_3)=\frac{12}{52}=\frac{3}{13}
Gli eventi inoltre sono a due a due compatibili, cioè : l’asso può essere di picche, come le figure possono essere di picche ma l’asso NON può essere una figura per cui avremo le seguenti intersezioni:
p(E_1\cap E_2)=\frac{1}{52}  asso di picche
p(E_2\cap E_3)=\frac{3}{52}  figure di picche
da cui il risultato finale sarà:
p(E_1\cup E_2\cup E_3)=p(E_1)+p(E_2)+p(E_3)-p(E_1\cap E_2)-p(E_2\cap pE_3)=
\frac{1}{13}+\frac{1}{4}+\frac{3}{13}-\frac{1}{52}-\frac{3}{52}=
\frac{4}{13}+\frac{1}{4}-\frac{4}{52}=
\frac{16+13-4}{52}=\frac{25}{52}

Maggio 8, 2016 Calcolo probabilità 6 Comments »


6 Commentsto Calcolo della probabilità. Esercizi 3

  1. anne ha detto:
    17/04/2020 alle 12:25

    salve volevo porvi un quesito sulla combinazione delle carte.
    ho un mazzo di 40 carte (4 suits(semi), numeri da 1 a 10). se prendo random 2 carte (no riemissione) qual è la probabilità di avere 9 come somma? qual è la probabilità di avere 8 come somma?

    Rispondi
    • skuolablog ha detto:
      19/11/2020 alle 13:42

      La probabilità di un evento è definita come il rapporto tra il numero di casi favorevoli all’evento e il numero di casi possibili.

      I casi favorevoli sono otto:
      8+1 = 9
      7+2 = 9
      6+3 = 9
      5+4 = 9
      4+5 = 9
      3+6 = 9
      2+7 = 9
      1+8 = 9

      Quindi per l’estrazione della 1^ carta avremo la possibilità di estrarre 8 carte favorevoli (da 1 a 8) per comporre la somma 9. Quindi 8 carte su 40 per i 4 semi disponibili quindi per la prima carta la probabilità è:
      4*8/40 = 8/10 = 4/5

      Per l’estrazione della 2^ carta le possibilità di estrarre una carta favorevole a comporre la somma nove si è ridotta a 7 su 39 carte rimaste sempre per i 4 semi disponibili; quindi per la seconda carta la probabilità di estrazione è:
      4*7/39 = 28/39

      La probabilità quindi di estrarre da un mazzo di quaranta carte due carte la cui somma è nove sarà quindi:
      4/5*28/39 = 112/195 ≈ 0,57 = 57%

      Per la somma = 8 il ragionamento è lo stesso. Basta rifare i calcoli.

      Rispondi
  2. fede ha detto:
    17/04/2020 alle 12:31

    salve volevo porvi un quesito sulla combinazione delle carte.
    ho un mazzo di 40 carte(4 suits (semi) numeri da 1 a 10); se prendo random 2 carte senza riemissione, qual è la probabilità di avere 9 come somma? e poi 8 come somma?
    Grazie, sito utilissimo.

    Rispondi
  3. luigicelia@cogemac.com ha detto:
    10/08/2021 alle 19:01

    Mi è successo che giocando con due mazzi di carte francesi + quattro jolly, nella prima distribuzione di 15 carte a giocatore, ad uno di essi sono capitati i quattro jolly. Sapete calcolare quale è la probabilità che questo evento accada?

    Rispondi
    • skuolablog ha detto:
      20/08/2021 alle 13:51

      Non conoscendo il risultato per confrontare se i miei calcoli sono esatti, io ragionerei cosi:
      Allora abbiamo due mazzi di carte da 52 carte (13 carte per ogni seme) più due jolly per ogni mazzo quindi in totale abbiamo n=108 carte.

      Calcoliamo la probabilità di ricevere 4 jolly in mano dall’inizio.
      Per calcolare dobbiamo fare riferimento alla distribuzione ipergeometrica.

      Dividiamo le carte del mazzo in due insiemi:
      1. l’insieme dei jolly (h=4);
      2. l’insieme di tutte le altre carte (n-h=108-4=104)

      Vogliamo determinare la probabilità che estraendo r=15 carte senza reimmissione nel mazzo si abbiano k=4 jolly:

      Formula

      per cui sostituendo avremo:

      Formula

      da cui effettuando gli opportuni calcoli avremo come risultato:

      P(4 jolly)=0,00025 ovvero circa lo 0,025% delle probabilità.

      E’ giusto? Fatemi sapere, grazie.

      Rispondi

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