Calcolo della probabilità. Esercizi 5

un po’ di teoria

LA PROBABILITÀ CONDIZIONATA

La probabilità condizionata di un evento E1 rispetto a un evento E2, non impossibile, è la probabilità di verificarsi di E1  nell’ipotesi che E2  si sia già verificato e si indica con  p(E1|E2). Gli eventi si dicono:
•  stocasticamente indipendenti se  p(E1|E2)=p(E1);
•  correlati positivamente se  p(E1|E2)>p(E1);
•  correlati negativamente se p(E1|E2)<p(E1).
Vale il teorema:
p(E_1|E_2)=\frac{p(E_1\cap E_2)}{p(E_2)}\;\mbox{ con }\;p(E_2)\neq 0

LA PROBABILITÀ DEL PRODOTTO LOGICO DI EVENTI

Prodotto logico o evento composto di due eventi E1+E2 : evento che si verifica quando si verificano entrambi gli eventi.
Teorema della probabilità composta
p(E_1)\cap p(E_2)=p(E_1)\cdot p(E_1|E_2), se E1 ed E2  sono eventi dipendenti;
p(E_1)\cap p(E_2)=p(E_1)\cdot p(E_2), se E1 ed E2 sono eventi indipendenti.

ESEMPIO:  Si estraggono consecutivamente due carte da un mazzo da 40. La probabilità che escano due assi nel caso di
• non reimmissione della prima carta è p(E_1)=\frac{4}{40}\cdot \frac{3}{39}=\frac{1}{10}\cdot \frac{1}{13}=\frac{1}{130}
• reimmissione della prima carta è  p(E_1)=\frac{4}{40}\cdot \frac{4}{40}=\frac{1}{10}\cdot \frac{1}{10}=\frac{1}{100}.

Calcolo della probabilità. Esercizi 5

LA PROBABILITÀ CONDIZIONATA

n.73 pag.87 alfa

Calcola la probabilità che, lanciando un dado, esca un numero maggiore di 3, sapendo che è uscito un numero pari.

P(E1) = la probabilità che esca un numero > 3 = casi favorevoli / casi possibili = 3/6 = 1/2
P(E2) = sappiamo che è già uscito un n. pari; la probabilità che esca pari = casi favorevoli / casi possibili = 3/6 = 1/2

In questo caso i due eventi sono condizionati in quanto un numero > 3 può essere anche pari, calcoliamo allora l’insieme intersezione di E1 con E2 che è dato dall’insieme {4,6} che rappresenta i numeri pari > 3 quindi:
p(E_1)\cap p(E_2)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}
dalla formula:
p(E_1|E_2)=\frac{p(E_1\cap E_2)}{p(E_2)}
sostituendo avremo:
p(E_1|E_2)=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}}=\frac{2}{3}

n.75 pag.87 alfa

Un’urna contiene 22 palline numerate da 1 a 22. Calcola la probabilità che, estraendo una pallina, essa rechi un numero multiplo di 3, sapendo che è uscito un numero dispari.

P(E1) = la probabilità che esca un n. multiplo di 3 = casi favorevoli / casi possibili = 7/22 (casi favirevoli={3,6,9,12,15,18,21})
P(E2) = sappiamo che è già uscito un n. dispari; la probabilità che esca dispari = casi favorevoli / casi possibili = 11/22 = 1/2
In questo caso i due eventi sono condizionati in quanto un numero multiplo di 3 può essere anche dispari, calcoliamo allora l’insieme intersezione di E1 con E2 che è dato dall’insieme {3,9,15,21} che rappresenta i numeri dispari multipli di 3 quindi:
p(E_1)\cap p(E_2)=\frac{4}{22}=\frac{2}{11}
dalla formula:
p(E_1|E_2)=\frac{p(E_1\cap E_2)}{p(E_2)}
sostituendo avremo:
p(E_1|E_2)=\frac{\frac{2}{11}}{\frac{1}{2}}=\frac{4}{11}

n.78 pag.87 alfa

Si estraggono consecutivamente tre palline da un’urna contenente 20 palline numerate da 1 a 20, rimettendo ogni volta la pallina estratta nell’urna. Calcola la probabilità che le tre palline abbiano un numero dispari, sapendo che le prime due palline hanno un numero dispari.

P(E1) = la terza pallina estratta è dispari = casi favorevoli / casi possibili = 10/20 = 1/2 (casi favirevoli={1,3,5,7,9,11,13,15,17,19}) NOTA importante: per tutte le estrazioni la pallina viene rimessa nell’urna.
P(E2) = le prime due palline estratte sono dispari; consideriamo separati i due eventi E2a la prima pallina estratta è dispari ed E2b la seconda pallina estratta è dispari; i due eventi sono tra loro stocasticamente indipendenti  = P((E2a|E2b) = PE2a = casi favorevoli / casi possibili = 10/20 = 1/2 (casi favirevoli={3,6,9,12,15,18,21})

P(E1|E2) = PE1 = 1/2 in quanto anche la terza estrazione non è condizionata dalle prime due (infatti la pallina estratta viene reinserita nell’urna e gli eventi sono stocasticamente indipendenti).

n.81 pag.87 alfa

Una macchina produce pezzi meccanici e, su una produzione di 400 pezzi, 20 sono difettosi per peso, 30 per lunghezza e 360 sono perfetti. Calcola la probabilità che, prendendo a caso un pezzo:
a) sia difettoso;
b) abbia entrambi i difetti;
c) sia difettoso per peso, sapendo che anche la lunghezza non è corretta.

Da quanto indicato dal problema vuol dire che 400-360=40 pezzi hanno ALMENO un difetto, quindi vuol dire che 10 pezzi hanno tutti e due i difetti (infatti 20+30=50)
Quindi significa che:
10 sono difettosi per il solo peso  (E1)
20 sono difettosi per la sola lunghezza (E2)
10 hanno entrambi i difetti (E3)

a) P(E1) = sia difettoso = casi favorevoli / casi possibili = 40/400 = 1/10 (casi favorevoli = 10+20+10=40).

b) P(E2) = abbia entrambi i difetti = casi favorevoli / casi possibili = 10/400 = 1/40 (casi favorevoli=10).

c) sia difettoso per peso, sapendo che anche la lunghezza non è corretta. Il problema è quindi quello di una probabilità condizionata:
P(E3)=P(E1|E2)=P(E1∩E2)/P(E2)
Quindi:
P(E1∩E2)=10/400 = 1/40  (i pezzi con entrambi i difetti sono 10)
P(E2)=30/400 = 3/40     (i pezzi difettosi per la lunghezza sono 30)
Quindi:
(1/40)/(3/40)=1/3

LA PROBABILITÀ DEL PRODOTTO LOGICO DI EVENTI

n.85 pag.88 alfa

Un’urna contiene 8 palline blu e 6 gialle. Estraendo consecutivamente due palline, senza rimettere la pallina estratta nell’urna, qual è la probabilità che la prima pallina estratta sia gialla e la seconda blu?

Indichiamo con E1 l’estrazione della pallina gialla e con E2 quella della pallina blu:
P(E1) = estrazione pallina gialla = casi favorevoli / casi possibili = 6/14 = 3/7.
P(E2) = estrazione pallina blu = casi favorevoli / casi possibili = 8/13 (dopo la prima estrazione la pallina NON viene rimessa nell’urna)
I due eventi sono indipendenti. Calcoliamo la probabilità del prodotto logico degli eventi:
P(E1∩E2)=P(E1)•p(E2)=3/7•8/13=24/91

n.91 pag.86 alfa

In una delegazione di 4 studenti devono essere presenti 2 maschi e 2 femmine. Calcola la probabilità che, scegliendo a caso, vi sia alternanza tra maschi e femmine.

Allora il problema ci chiede la probabilità che scegliendo a caso, vi sia alternanza tra maschi e femmine cioè deve verificarsi uno dei seguenti casi:
E1: MFMF (Maschio, Femmina, Maschio, Femmina)
E2: FMFM (Femmina, Maschio, Femmina, Maschio)

Vediamo che i due casi precedenti hanno stessa probabilità di verificarsi quindi basta calcolare p(E1) e moltiplicare per 2.
Prima estrazione: probabilità di estrarre un maschio = casi favorevoli / casi possibili = 2/4 = 1/2 (vi sono 2M e 2F);
seonda estrazione: probabilità di estrarre una femmina = casi favorevoli / casi possibili = 2/3 (dopo la prima estrazione sono rimasti 1M e 2F quindi vi sono 2F su un totale di 3 persone);
terza estrazione: probabilità di estrarre un maschio = casi favorevoli / casi possibili = 1/2 (dopo la seconda estrazione sono rimasti 1M e 1F quindi vi è solo 1M su un totale di 2 persone);
quarta estrazione: probabilità di estrarre una femmina = casi favorevoli / casi possibili = 1 (dopo la terza estrazione è rimasto solo 1M);
Quindi avremo:
p(E1)=\frac{2}{4}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{1}

p(E1)=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot 1=\frac{1}{6}

p(E1)\cap p(E2)=2\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{3}

Maggio 15, 2016 Calcolo probabilità No Comments »


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