Calcolo della probabilità. Esercizi 2

Di seguito riporto ulteriori esercizi sul calcolo della probabilità. E’ possibile consultare la teoria al seguente Link.

Calcolo della probabilità. Esercizi 2

n.11 pag.78 alfa

In una classe di 24 alunni vi sono 14 maschi e 10 femmine. L’insegnante di matematica estrae a sorte un nome per l’interrogazione. Calcola la probabilità che:
a) ciascun alunno ha di essere estratto;
b) l’alunno estratto sia femmina;
c) l’alunno estratto sia maschio;
d) ciascun alunno ha di non essere estratto.

a) I casi possibili sono 24 (14+10=24) il caso probabile che ciascun alunno ha di essere estratto è:
$p(E)=\frac{1}{24}\approx 0,04=4%$

b) I casi possibili sono 24 (14+10=24) i casi probabili che l’alunno estratto sia femmina sono 10 per cui si avrà:
$p(E)=\frac{10}{24}=\frac{5}{12}\approx 0,42=42%$

c) I casi possibili sono 24 (14+10=24) i casi probabili che l’alunno estratto sia maschio sono 14 per cui si avrà:
$p(E)=\frac{14}{24}=\frac{7}{12}\approx 0,58=58%$

d) I casi probabili sono esattamente il contrario dell’esercizio a) cioè:
$p(\bar E)=1-\frac{1}{24}=\frac{23}{24}\approx 0,96=96%$

n.13 pag.78 alfa

Calcola la probabilità che nel lancio di tre monete si ottenga:
a) una sola croce;
b) lo stesso lato in tutte le monete.

a) una sola croce
Affinchè esca una sola croce vuol dire che per gli altri tiri dovrà uscire due volte testa per cui avremo due volte T e una volta C si possono presentare così:
(T∩T∩C)∪(T∩C∩T)∪(C∩T∩T)
$p(E)=\left(\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\right)=$
$\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{3}{8}\approx 0,38=38%$

b) lo stesso lato in tutte le monete
ogni lancio della moneta può avere solo 2 risultati = {Testa, Croce} questo vuol dire che la P(T) = 1/2 = P(C) ovvero la probabilità che a ogni lancio esca testa è 1/2, che è uguale alla probabilità che esca croce.
Ora avremo tre risultati identici se a tutti e tre i lanci si avrà come risultato 3 teste o 3 croci. Indicando con p(E) = probabilità di avere lo stesso risultato, si avrà:
P(E)=P(TTT) + P(CCC) dove: P(TTT) è la probabilità di avere tre volte testa e P(CCC) quella di avere tre volte croce.
P(TTT) = P(T)·P(T)·P(T) =1/2·1/2·1/2= 1/8 = P(CCC) quindi P(E) = 1/8+1/8= 2/8 = 1/4=0,25=25%.

Altro possibile ragionamento per la soluzione di b):
I risultati possibili lanciando 3 volte una moneta sono 2³=8; infatti per il primo lancio abbiamo 2 possibilità (T o C), per ciascuna avremo (con il secondo lancio) altre 2 possibilità e quindi in tutto 2·2=4 possibilità, e per ciascuna di queste 4 avremo (con il terzo lancio) altre due possibilità, quindi 8 in totale.
I casi favorevoli sono 2, ossia TTT (tutte teste) e CCC (tutte croci) per cui possiamo scrivere:
$p(E)=\frac{\mbox{casi favorevoli}}{\mbox{casi possibili}}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}\approx 0,25=25%$

n.20 pag.79 alfa

Un’urna contiene cinque palline numerate da 1 a 5. Si estraggono consecutivamente due palline, rimettendo la prima pallina estratta nell’urna. Calcola la probabilità che:
a) escano due 5;
b) escano due numeri pari;
c) esca prima un numero pari e poi uno dispari;
d) escano un numero pari e uno dispari.

Presupposto fondamentale per lo svolgimento di tutti gli esercizi è che gli eventi devono verificarsi insieme, quindi bisogna fare il prodotto tra i due eventi;
a) escano due 5
– la probabilità che si estragga il numero 5 è 1/5, perchè di numero 5 ce n’è solo uno (casi favorevoli) e le palline totali sono 5 (casi possibili).
– la probabilità che si estragga al secondo giro di nuovo il numero 5 è sempre 1/5 (il problema infatti precisa che dopo la prima estrazione la pallina viene reimmessa nell’urna, dunque il totale è sempre 5).
– la probabilità che i due eventi si verifichino insieme è il prodotto tra i singoli eventi, cioè 1/5·1/5 = 1/25=0,04=4%.

b) escano due numeri pari
– la probabilità che si estragga un numero pari è 2/5, perchè di numeri pari ce ne sono due (2, 4) (casi favorevoli) e le palline totali sono 5 (casi possibili).
– la probabilità che si estragga al secondo giro di nuovo un numero pari è sempre 2/5 (il problema infatti precisa che dopo la prima estrazione la pallina viene reimmessa nell’urna, dunque il totale è sempre 5).
– la probabilità che i due eventi si verifichino insieme è il prodotto tra i singoli eventi, cioè 2/5·2/5 = 4/25=0,16=16%.

c) esca prima un numero pari e poi uno dispari
– la probabilità che si estragga un numero pari al primo tiro è 2/5, perchè di numeri pari ce ne sono due (2, 4) e le palline totali sono 5.
– la probabilità che si estragga al secondo tiro un numero dispari è 3/5 perchè di numeri dispari ce ne sono tre (1, 3, 5) (il problema infatti precisa che dopo la prima estrazione la pallina viene reimmessa nell’urna, dunque il totale è sempre 5).
– la probabilità che i due eventi si verifichino insieme è il prodotto tra i singoli eventi, cioè 2/5·3/5 = 6/25=0,24=24%.

d) escano un numero pari e uno dispari
– la probabilità che si estragga un numero pari è 2/5, perchè i numeri pari sono 2 e 4, e le palline totali sono 5.
– la probabilità che si estragga un numero dispari è invece 3/5, perchè i numeri dispari sono 1, 3 e 5 e le palline totali sono sempre 5 (il problema infatti precisa che dopo la prima estrazione la pallina viene reimmessa nell’urna, dunque il totale è sempre 5).
– la probabilità che i due eventi si verifichino insieme è il prodotto tra i singoli eventi, cioè 2/5·3/5 = 6/25=0,24=24%.
– inoltre, nel nostro svolgimento abbiamo considerato che l’evento “uscita di un numero pari” venga prima dell’evento “uscita di un numero dispari“. In realtà, però può avvenire anche il contrario, cioè che esca prima un numero dispari e poi un numero pari. Per questo, essendo due le possibilità, il risultato che abbiamo ottenuto va moltiplicato per 2 ottenendo:
6/25·2=12/25=0,48=48%

n.21 pag.79 alfa

Si gettano contemporaneamente due dadi. Calcola la probabilità che le due facce:
a) siano due numeri uguali;
b) siano due numeri dispari;
c) siano due numeri primi;
d) siano uno pari e l’altro dispari.

a) siano due numeri uguali;
le facce dei dadi sono 6 ed hanno 6 valori diversi. Le possibili combinazioni delle uscite sono 6•6=36, le combinazioni con gli stessi valori sono 6 (1 e 1, 2 e 2, 3 e 3, 4 e 4, 5 e 5, 6 e 6) per cui facendo numero di casi probabili/favorevoli (6) diviso numeri di casi possibili (36) avremo:
$p(E)=\frac{\mbox{casi favorevoli}}{\mbox{casi possibili}}=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}\approx 0,17=17%$

b) siano due numeri dispari;
Presupposto fondamentale per lo svolgimento dell’esercizio è che gli eventi devono verificarsi insieme, quindi bisogna fare il prodotto tra i due eventi;
Lanciando un dado a 6 facce avremo 6 casi possibili (1, 2, 3, 4, 5, 6); i casi favorevoli per cui si verifica che il numero che esce è dispari corrisponde a 3 (1, 3, 5) per cui avremo che la probabilità sara 3/6. Anche per il secondo dado la probabilità che si verifichi che il numero uscito sia dispari è 3/6, ora dovendo i due eventi verificarsi insieme/contemporaneamente bisogna fare il prodotto:
$p(E)=\frac{3}{6}\cdot \frac{3}{6}=\frac{9}{36}=\frac{1}{4}\approx 0,25=25%$

c) siano due numeri primi
Presupposto fondamentale per lo svolgimento dell’esercizio è che gli eventi devono verificarsi insieme, quindi bisogna fare il prodotto tra i due eventi;
Lanciando un dado a 6 facce avremo 6 casi possibili (1, 2, 3, 4, 5, 6); i casi favorevoli per cui si verifica che il numero che esce è primo corrisponde a 3 (2, 3, 5; attenzione che 1 non è primo) per cui avremo che la probabilità sara 3/6. Anche per il secondo dado la probabilità che si verifichi che il numero uscito sia primo è 3/6, ora dovendo i due eventi verificarsi insieme/contemporaneamente bisogna fare il prodotto:
$p(E)=\frac{3}{6}\cdot \frac{3}{6}=\frac{9}{36}=\frac{1}{4}\approx 0,25=25%$

d) siano uno pari e l’altro dispari.
Presupposto fondamentale per lo svolgimento dell’esercizio è che gli eventi devono verificarsi insieme, quindi bisogna fare il prodotto tra i due eventi;
Lanciando un dado a 6 facce avremo 6 casi possibili (1, 2, 3, 4, 5, 6); i casi favorevoli per cui si verifica che il numero che esce è pari corrisponde a 3 (2, 4, 6) per cui avremo che la probabilità dell’evento sarà 3/6=1/2. Per il secondo dado la probabilità che si verifichi che il numero uscito sia dispari è pari a 3 (1, 3, 5) per cui avremo che la probabilità dell’evento sarà 3/6=1/2, ora dovendo i due eventi verificarsi insieme/contemporaneamente disogna fare il prodotto degli eventi:
$p(E)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}\approx 0,25$

A questo punto però bisogna ripetere il calcolo per l’uscita contraria, ossia prima un dispari e poi un pari e si ottiene di nuovo:
$p(E)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}\approx 0,25$

La probabilità totale dell’evento è data, questa volta, dalla somma delle due probabilità parziali, ossia:
$p(E)=\frac{1}{4}+ \frac{1}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}=0,50=50%$

n.22 pag.80 alfa

In una scuola 120 alunni partecipano alla «giornata dell’arte», preparando lavori di vari generi artistici. Calcola la probabilità che i primi tre classificati siano tutti alunni della 4^ C, che partecipa con 20 ragazzi.

La probabilità è il rapporto tra casi favorevoli e casi possibili.
I casi possibili sono 3 alunni a caso su 120:
$D_{120,3}=120\cdot 119\cdot 118=1.685.040$
I casi favorevoli sono 3 alunni a caso su 20:
$D_{20,3}=20\cdot 19\cdot 18=6840$
$p(E)=\frac{\mbox{casi favorevoli}}{\mbox{casi possibili}}=\frac{6840}{1.685.040}$
divido ambo i membri per 120 (mcd) ottenendo
$p(E)=\frac{57}{14.042}\approx 0,0040%=0,4%$

n.25 pag.80 alfa

Calcola la probabilità che su una data ruota nel gioco del lotto esca il numero 8:
a) come primo estratto;
b) nella cinquina dei numeri estratti.

a) esca 8 come primo estratto
Casi possibili: 90 (tutti i numeri del lotto da 1 a 90)
Casi favorevoli: 1 (solo il numero 8)
$p(E)=\frac{\mbox{casi favorevoli}}{\mbox{casi possibili}}=\frac{1}{90}\approx 0,011%$

b) esca 8 nella cinquina dei numeri estratti
alla prima estrazione c’è una probabilità su 90 che l’ 8 esca come primo numero
alla seconda estrazione c’è una probabilità su 89 che l’ 8 esca come 2°
alla terza estrazione c’è una probabilità su 88 che l’ 8 esca come 3°
alla quarta estrazione c’è una probabilità su 87 che l’ 8 esca come 4°
alla quinta estrazione c’è una probabilità su 86 che l’ 8 esca come 5°
Ora non resta che sommare le probabilità (gli eventi NON si verificano contemporaneamente)
$p(E)=\frac{1}{90}+\frac{1}{89}+\frac{1}{88}+\frac{1}{87}+\frac{1}{86}+$
$p(E)=\frac{24.977.627}{439.492.680}\approx \frac{1}{18}\approx 0,057=5,7%$

n.28 pag.80 alfa

Lanciando 4 dadi, calcola la probabilità che:
a) abbiano tutte le facce uguali;
b) abbiano 4 facce con il numero 2.

a) per avere i 4 dadi con tutte le facce uguali

casi possibili con 4 dadi: 6·6·6·6=1296;
casi favorevoli: 6 (cioè l’evento di avere 4 facce uguali con 4 dadi può presentarsi con ognuna delle 6 facce e quindi potremmo avere: quattro 1, quattro 2, quattro 3 …. quattro 6), per cui si avrà:
$p(E)=\frac{\mbox{casi favorevoli}}{\mbox{casi possibili}}=\frac{6}{6\cdot 6\cdot 6\cdot6}=\frac{1}{216}\approx 0,0046=0,46%$

b) la probabilità di avere per 4 volte di seguito il numero 2 è di:

casi possibili con 4 dadi: 6·6·6·6=1296;
casi favorevoli: 1 (cioè l’evento di avere 4 facce con il numero 2 si verifica una sola volta, quando tutte le facce segnano appunto il numero 2, per cui si avrà:
$p(E)=\frac{\mbox{casi favorevoli}}{\mbox{casi possibili}}=\frac{1}{1296}\approx 7,7\cdot 10^{-4}=0,077%$

Calcolo della probabilità. Esercizi

Calcolo della probabilità. Esercizi 3

4 Commentsto Calcolo della probabilità. Esercizi 2

paol@ ha detto:

19/11/2018 alle 16:36

Grazie, semplici ma incisivi.

Rispondi
- skuolablog ha detto:
  
  23/11/2018 alle 13:49
  
  Grazie a te per aver consultato il nostro sito.
  
  Skuolablog.
  
  Rispondi
  - Annibale Carlos ha detto:
    
    26/05/2019 alle 22:16
    
    vorrei porvi un quesito.Da un’urna che contiene 20 palline numerate da 1 a 20 ne estraiamo quattro una per volta, senza rimettere le palline estratte nell’urna. Calcolare la probabilità che escano i numeri 2, 5, 6, 8
    
    Rispondi
    - skuolablog ha detto:
      
      27/05/2019 alle 09:11
      
      Allora ragioniamo in questo modo:
      La probabilità che si verifichi un evento è dato da: (numero di casi favorevoli)/(numero casi possibili); noi abbiamo un sacchetto di 20 palline in totale (n.casi possibili) ognuna numerata da 1 a 20 per cui:
      Alla prima estrazione avremo:
      – la probabilità che esca il n.2 è 1/20 (abbiamo un solo n. 2 su 20 numeri presenti nell’urna)
      Alla seconda estrazione avremo:
      – la probabilità che esca il n.5 è 1/19 (abbiamo un solo n. 5 su 19 numeri rimasti nell’urna, infatti abbiamo già estratto il n.2 e i numeri totali sono passati a 20-1=19).
      Alla terza estrazione avremo:
      – la probabilità che esca il n.6 è 1/18 (abbiamo un solo n. 6 su 18 numeri rimasti nell’urna, infatti abbiamo già estratto il n.2 e il n.5 e i numeri totali sono passati a 20-2=18).
      Alla quarta estrazione avremo:
      – la probabilità che esca il n.8 è 1/17 (abbiamo un solo n. 8 su 17 numeri rimasti nell’urna, infatti abbiamo già estratto il n.2 e il n.5 e il n. 6 e pertanto i numeri totali rimasti nell’urna sono passati a 20-3=17).
      
      Per avere la probabilità totale non ci resta che moltiplicare i risultati ottenuti:
      1/20*1/19*1/18*1/17=1/116280=8,6*10^(-6).
      
      Rispondi

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