Problemi sul calcolo combinatorio

Di seguito alcuni problemi sul calcolo combinatorio. E’ possibile consultare la teoria al seguente link.

PROBLEMI SUL CALCOLO COMBINATORIO

n.228 pag.39 alfa

In un piano sono dati nove punti a tre a tre non allineati. Quanti triangoli si possono disegnare con i vertici in quei punti?

Si tratta di combinazioni di 9 elementi presi a 3 a 3 per cui avremo:

$C_{9,\;3}=C {9 \choose 3} =\frac{D_{9,\;3}}{P_3}=\frac{9\cdot 8\cdot 7}{3!}=\frac{504}{6}=84$

n.242 pag.40 alfa

Si lancia una moneta per 4 volte consecutive. Calcola quante sono le possibili successioni:
a) di testa e croce;
b) di testa e croce che iniziano con testa;
c) nelle quali testa compare una volta;
d) nelle quali compare sempre la stessa faccia.

a) le possibili successioni sono date dalle disposizioni con ripetizione, poichè ogni lancio puo dare due esiti diversi avremo:
$D'_{2,\;4}=2^4=16$

b) quelle che iniziano con testa invece sono 2 elevato a 3, perchè dobbiamo considerare in pratica solo le possibili successioni degli ultimi 3 lanci (il primo è sempre testa)
$D'_{2,\;3}=2^3=8$

c) se testa compare solo una volta allora può capitare o al primo lancio, o al secondo e cosi via fino a 4, quindi sono 4 successioni diverse: TCCC, CTCC, CCTC e CCCT

d) esiste una sola sequenza in cui compare sempre testa come ne esiste una sola sequenza in cui compare sempre croce, quindi le successioni con sempre la stessa faccia sono 2 (4 volte testa oppure 4 volte croce): TTTT, CCCC.

n.243 pag.40 alfa

In una scatola ci sono trenta gettoni numerati da 1 a 30. Dieci sono rossi, gli altri sono di colore diverso. Quante terne distinte si possono estrarre in modo che ognuna di esse contenga:
a) solo un gettone rosso;
b) almeno un gettone rosso;
c) nessun gettone rosso;
d) soltanto gettoni rossi.

a) per estrarre terne distinte con un solo gettone rosso bisognerà estrarre 1 gettone dai primi 10 gettoni (che sono tutti rossi) e poi 2 gettoni tra i rimanenti 20 gettoni (che sono di colore diverso. Trattandosi di combinazioni avreme:
$C_{10,\;1}=C{10 \choose 1} =\frac{D_{10,\;1}}{P_1}=\frac{10}{1!}=10$

$C_{20,\;2}=C{20 \choose 2} =\frac{D_{20,\;2}}{P_2}=\frac{20\cdot 19\cdot 18}{2!}=\frac{380}{2}=190$

Il risultato finale sarà:
$C_{10,\;1}\cdot C_{20,\;2}=10\cdot 190=1900$

b) per estrarre terne distinte con almeno un gettone rosso possiamo procedere calcolando le terne totatli che possiamo ottenere a cui bisogna togliere le terne in cui non compare nessun gettone rosso, per cui avremo che le terne totali saranno date dalla seguente combinazione:
$C_{30,\;3}=C{30 \choose 3} =\frac{D_{30,\;3}}{P_3}=\frac{30\cdot 29\cdot 28}{3!}=\frac{24360}{6}=4060$

al risultato prededente bisogna però togliere tutte le terne dove non compare nessun gettone rosso che saranno date da:
$C_{20,\;3}=C{20 \choose 3} =\frac{D_{20,\;3}}{P_3}=\frac{20\cdot 19\cdot 18}{3!}=\frac{6840}{6}=1140$

Il risultato finale sarà:
$C_{30,\;3}- C_{20,\;3}=4060-1140=2920$

c) per estrarre terne in cui nessun gettone è rosso basta considerare le terne calcolate nell’esercizio b) formate da nessun gettone rosso:
$C_{20,\;3}=C{20 \choose 3} =\frac{D_{20,\;3}}{P_3}=\frac{20\cdot 19\cdot 18}{3!}=\frac{6840}{6}=1140$

d) per calcolare tutte le terne formate da solo gettoni rossi bisognerà estrarre 3 gettoni dai primi 10 gettoni (che sono tutti rossi):
$C_{10,\;3}=C{10 \choose 3} =\frac{D_{10,\;3}}{P_3}=\frac{10\cdot 9\cdot 8}{3!}=\frac{720}{6}=120$

Esercizi calcolo combinatorio

Calcolo della probabilità. Esercizi

One Commentto Problemi sul calcolo combinatorio

giovanni ha detto:

24/04/2022 alle 18:26

ciao

Rispondi

SkuolaBlog

BLOG DIDATTICO PERSONALE

Problemi sul calcolo combinatorio