[Algebra] Risolvere sistemi letterali con discussione (es.216)

Es.216 pag.112

Risolvi e discuti il seguente sistema letterale intero nelle incognite x e y:

$\begin{cases} x+y=a \\ ax+(2a+1)y=-a\end{cases}$

In questo caso per la soluzione del sistema è conveniente usare il metodo di Cramer. Prima di iniziare con lo svolgimento dell’esercizio, ripassiamo un attimo come si applica questo metodo.

Consideriamo il seguente sistema lineare di equazioni:

$\begin{cases} a_1x+b_1y=c_1 \\ a_2x+b_2y=c_2\end{cases}$

Scriviamo ora i coefficienti del sistema in una tabella (matrice):
$\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{vmatrix}$

A questo punto utilizziamo le matrici e calcoliamo il determinante della matrice dei coefficienti (D); il determinante dell’incognita x (Dx) e il determinante dell’incognita y (Dy).
Il determinante della matrice dei coefficienti (D) si calcola eliminando la colonna dei termini noti e moltiplicando i coefficienti nel modo che segue, ottenendo:
$D=\begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}$

$D=a_1\cdot b_2-a_2\cdot b_1$

Partendo dal determinante della matrice dei coefficienti (D), il determinante dell’incognita x (Dx) si calcola eliminando la colonna dei coefficienti delle x e mettendo al suo posto i termini noti e moltiplicando i coefficienti nel modo che segue, ottenendo:
$Dx=\begin{vmatrix} c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2 \end{vmatrix}$

$Dx=c_1\cdot b_2-c_2\cdot b_1$
Partendo sempre dal determinante della matrice dei coefficienti (D), il determinante dell’incognita y (Dy) si calcola eliminando la colonna dei coefficienti delle y e mettendo al suo posto i termini noti e moltiplicando i coefficienti nel modo che segue, ottenendo: