[Algebra] Risolvere le disequazioni razionali fratte con radicali per coefficienti (es.698 pag.53)

n.698 pag.53

Risolvere la seguente disequazione razionale fratta con radicali per coefficienti:

Si tratta di una disequazione in cui l’incognita compare in almeno un denominatore pertanto ci troviamo di fronte a una disequazione frazionaria. Come procediamo per risolverla? Se non è già così, bisogna ridurla in forma normale cioè a una disequazione che assume la forma definitiva di numeratore in funzione di x fratto denominatore in funzione di x maggiore o uguale a 0. La nostra equazione però è già ridotta in forma normale:

Studiamo ora il segno del numeratore N(x) e del denominatore D(x).

A questo punto studiamo il segno del numeratore N(x) e del denominatore D(x) e, indipendentemente dal segno riportato nella disequazione frazionaria di partenza, vediamo quando questi risultano positivi (>0); è evidente infatti che, dove non sono positivi o nulli, allora sono negativi.

Il numeratore sarà positivo, N(x)>0 per:

Razionalizziamo moltiplicando numeratore e denominatore per √2 (radice di 2):

Quindi il numeratore è positivo o uguale a zero [N(x) ≥ 0] per x ≥ 2√2; sarà negativo [N(x)<0] per x < 2√2.

Il denominatore sarà positivo, D(x)>0 per:

Naturalmente il denominatore è positivo [D(x)>0] per x > √3/3; sarà negativo [D(x)<0] per x < √3/3 e si annullerà [D(x)=0] per x = √3/3 e quindi in questo caso la disequazione fratta NON ESISTE in quanto il denominatore vale zero (si annulla).

Riportiamo i risultati ottenuti su un grafico riassuntivo studiando il segno della frazione:

Dal grafico possiamo dedurre il segno della nostra frazione iniziale; infatti la nostra frazione è minore o uguale a zero in un unico intervallo : per x compreso tra √3/3 e 2√2. Per x=√3/3 invece il denominatore si annulla e la frazione non è definita (non esiste) e quindi x=√3/3 deve essere escluso. Il risultato finale sarà: