[Geometria] Considerato il triangolo rettangolo EFC, di ipotenusa EF, traccia l’altezza CA, il punto medio D di EC e il punto medio B di FC
Es. 50 pag. G228
[su_note note_color=”#faff66″ text_color=”#1416bc”]Considerato il triangolo rettangolo EFC, di ipotenusa EF, traccia l’altezza CA, il punto medio D di EC e il punto medio B di FC. Dimostra che ABCD è inscrivibile in una circonferenza, di cui devi specificare centro e raggio.[/su_note]
[su_box title=”Ipotesi:”]HP: EFC triangolo rettangolo; CD = altezza relativa all’ipotenusa; D punto medi del cateto EC; B punto medio del cateto FC.[/su_box]
[su_box title=”Tesi:”]TH: il quadrilatero ABCD è inscrivibile in una circonferenza.[/su_box]
Consideriamo il triangolo rettangolo EAC rettangolo in A e consideriamo la mediana AD all’ipotenusa CE. In questo caso dal teorema che afferma che in un triangolo rettangolo la mediana relativa all’ipotenusa è metà dell’ipotenusa stessa avremo che AD = CD; quindi il triangolo ACD risulta essere isoscele su base AC e pertanto avrà gli angoli alla base uguali (α=α).
Consideriamo ora il triangolo rettangolo ACF rettangolo in A e consideriamo la mediana AB all’ipotenusa CF. Sempre dal teorema della mediana relativa all’ipotenusa di un triangolo rettangolo che è metà dell’ipotenusa stessa avremo che AB = CB; quindi il triangolo ACB risulta essere isoscele su base AC e pertanto avrà gli angoli alla base uguali (β=β).
Quindi l’angolo in C=α+β e l’angolo in A=α+β. Essendo per costruzione l’angolo in C=α+β=90° per costruzione ed essendo l’angolo C uguale all’angolo A, significa che A=α+β=90°.
Consideriamo ora il quadrilatero ABCD dove la somma degli angoli opposti A+C=90°+90°=180°, per cui essendo la somma degli angoli interni di un quadrilatero uguale a 360° vuol dire che anche la somma degli angoli opposti B e D è 180° e quindi sono supplementari.
Dalla teoria, sapendo che un QUADRILATERO può essere INSCRITTO in una circonferenza se gli ANGOLI OPPOSTI sono SUPPLEMENTARI, cioè la loro somma è pari a 180° questo implica che il quadrilatero ABCD è inscrivibile in una circonferenza.
Osservando la figura possiamo affermare che DB è il diametro della circonferenza circoscritta e pertanto il centro della circonferenza è il punto medio del diametro DB e il raggio r è la metà di DB.