[Algebra] Risolvere le disequazioni razionali fratte (es.56 pag.624)

Es.56 pag.624

Risolvere la seguente disequazione razionale fratta.

Si tratta di una disequazione in cui l’incognita compare in almeno un denominatore pertanto ci troviamo di fronte a una disequazione frazionaria. Come procediamo per risolverla? Cominciamo a ridurla in forma normale cioè a una disequazione che assume la forma definitiva di numeratore in funzione di x fratto denominatore in funzione di x maggiore o uguale a 0:

A questo punto notiamo che i due denominatori delle due frazioni non risultano uguali però noi il secondo denominatore possiamo riscriverlo mettendolo tra parentesi e mettendoci davanti il segno “–”; in questo modo otterremo:

sempre considerando la seconda frazione, abbiamo il segno “–” davanti alla linea di frazione e il segno “–” davanti alle parentesi al denominatore. Il segno “–” davanti alla linea di frazione diventa un “+” come di seguito riportato:

calcoliamo ora il mcm che è (x-2)

Studiamo ora il segno del numeratore N(x) e del denominatore D(x).

A questo punto studiamo il segno del numeratore N(x) e del denominatore D(x) e indipendentemente dal segno riportato nella disequazione frazionaria di partenza vediamo quando questi risultano positivi (>0); è evidente infatti che, dove non sono positivi o nulli, allora sono negativi.

Il numeratore sarà positivo, N(x)>0 per:

moltiplico ambo i membri per –1 cambiando segno e verso alla disequazione:

Quindi il numeratore è positivo [N(x)>0] per x<–1/2; sarà negativo [N(x)<0] per x>–1/2 e si annullerà [N(x)=0] per x=–1/2.

Il denominatore sarà positivo, D(x)>0 per:
x–2>0;      x > 2

Naturalmente il denominatore è positivo [D(x)>0] per x > 2; sarà negativo [D(x)<0] per x < 2 e si annullerà [D(x)=0] per x = 2 e quindi in questo caso la disequazione fratta NON ESISTE in quanto il denominatore vale zero (si annulla).

Riportiamo i risultati ottenuti su un grafico riassuntivo studiando il segno della frazione:

Dal grafico possiamo dedurre il segno della nostra frazione iniziale; infatti la nostra frazione è maggiore di zero in un unico intervallo : per x compreso tra -1/2 e 2. Per x=2 invece il denominatore si annulla e la frazione non è definita (non esiste) e quindi x=2 deve essere escluso. Il risultato finale sarà: