[Algebra] Risolvere le disequazioni razionali fratte (es.53 pag.624)

Es.53 pag.624

Risolvere la seguente disequazione razionale fratta.

Si tratta di una disequazione in cui l’incognita compare in almeno un denominatore pertanto ci troviamo di fronte a una disequazione frazionaria. Come procediamo per risolverla? Cominciamo a ridurla in forma normale cioè a una disequazione che assume la forma definitiva di numeratore in funzione di x fratto denominatore in funzione di x maggiore o uguale a 0:

Al secondo denominatore possiamo mettere il segno “–” davanti al 3 cambiando i segni in parentesi ottenendo:

a questo punto, sempre considerando la seconda frazione, abbiamo al numeratore un +1 e al demoninatore un –3 per cui il segno “+” davanti alla linea di frazione diventa un “–” come di seguito riportato:

calcoliamo ora il mcm che è 3(2–x)

Studiamo ora il segno del numeratore N(x) e del denominatore D(x).

A questo punto studiamo il segno del numeratore N(x) e del denominatore D(x) e indipendentemente dal segno riportato nella disequazione frazionaria di partenza vediamo quando questi risultano positivi (>0); è evidente infatti che, dove non sono positivi o nulli, allora sono negativi.

Il numeratore N(x)>0 per:

moltiplico ambo i membri per –1 cambiando segno e verso alla disequazione:

Quindi il numeratore è positivo [N(x)>0] per x<–7/2; sarà negativo [N(x)<0] per x>–7/2 e si annullerà [N(x)=0] per x=–7/2.

Il denominatore sarà positivo, D(x)>0 per:
2–x > 0;      –x >–2

moltiplico ambo i membri per -1 cambiando segno e verso alla disequazione:
x < 2

Naturalmente il denominatore è positivo [D(x)>0] per x < 2; sarà negativo [D(x)<0] per x > 2 e si annullerà [D(x)=0] per x = 2 e quindi in questo caso la disequazione fratta NON ESISTE in quanto il denominatore vale zero (si annulla).

Riportiamo i risultati ottenuti su un grafico riassuntivo studiando il segno della frazione:

Dal grafico possiamo dedurre il segno della nostra frazione iniziale; infatti la nostra frazione è maggiore o uguale a zero in due intervalli distinti: per x minore o uguale di –7/2 (consideriamo anche x=–7/2 in quanto il segno della disequazione di partenza è ≥) e per x > 2. Per x=2 invece il denominatore si annulla e la frazione non è definita (non esiste) e quindi x=2 deve essere escluso. Il risultato finale sarà: