[Algebra] Sistemi di equazioni lineari fratte – Esercizio svolto 2

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\begin{cases} -\frac{1}{x+4}=\frac{1}{y-1} \\ \frac{1}{3y+1}-\frac{1}{5x}=0\end{cases}

Porto tutti gli elementi della 1^ equazione al primo membro cambiando i segni:
\begin{cases} -\frac{1}{x+4}-\frac{1}{y-1}=0 \\ \frac{1}{3y+1}-\frac{1}{5x}=0\end{cases}

m.c.m. della 1^ equazione è (x+4)(y-1) mentre il m.c.m. della 2^ equazione è 5x(3y+1) per cui avremo:
\begin{cases} \frac{-(y-1)-(x+4)}{(x+4)\cdot (y-1)}=0 \\ \frac{5x-(3y+1)}{5x\cdot (3y+1)}=0\end{cases}

moltiplico ambo i membri della 1^ equazione per (x+4)(y-1) mentre quelli della 2^ equazione per 5x(3y+1) per cui avremo:
\begin{cases} (x+4)\cdot (y-1)\frac{-(y-1)-(x+4)}{(x+4)\cdot (y-1)}=0\cdot (x+4)\cdot (y-1) \\ 5x\cdot (3y+1)\cdot \frac{5x-(3y+1)}{5x\cdot (3y+1)}=0\cdot 5x\cdot (3y+1)\end{cases}

Semplificando avremo:
\begin{cases} -(y-1)-(x+4)=0 \\ 5x-(3y+1)=0\end{cases}
\begin{cases} -y+1-x-4=0 \\ 5x-3y-1=0\end{cases}
\begin{cases} -x-y-3=0 \\ 5x-3y-1=0\end{cases}

Moltiplico ambo i membri della 1^ equazione per -1 cambiando di segno:
\begin{cases} x+y+3=0 \\ 5x-3y-1=0\end{cases}

Dalla 1^ equazione calcolo la x e la sostituisco nella 2^ equazione:
\begin{cases} x=-y-3 \\ 5\cdot(-y-3)-3y-1=0\end{cases}
\begin{cases} x=-y-3 \\ -5y-15-3y-1=0\end{cases}
\begin{cases} x=-y-3 \\ -8y-16=0\end{cases}

Moltiplico ambo i membri della 2^ equazione per -1 cambiando di segno:
\begin{cases} x=-y-3 \\ 8y+16=0\end{cases}
\begin{cases} x=-y-3 \\ 8y=-16\end{cases}
\begin{cases} x=-y-3 \\ y=-\frac{16}{8}=-2\end{cases}

Sostituisco la y = -2 nella prima equazione trovando la x
\begin{cases} x=-(-2)-3 \\ y=-2\end{cases}
\begin{cases} x=+2-3 \\ y=-2\end{cases}
\begin{cases} x=-1 \\ y=-2\end{cases}

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